100层楼扔两个鸡蛋问题

解释：两个鸡蛋一样，只有在达到某个楼层高度时，才会摔碎。可以假设这个摔碎临界楼层是N。

1、最笨的方法——只用一个鸡蛋遍历——N次尝试

• 一个鸡蛋遍历那就是从一楼顶开始，逐层尝试，如果摔不碎那就继续往上层尝试，直到N层摔碎了。这样就尝试了N次，而且浪费了一个鸡蛋的使用。

2、二分查找——两个鸡蛋，鸡蛋A用来二分尝试，鸡蛋B用来在A摔碎后做局部遍历尝试

• 鸡蛋A用来做二分尝试，即第一次从50层扔下。
• 最悲观情况，直接摔碎，说明N在1-50之间，那么鸡蛋B也只能从1开始遍历，回到了第一种情况（最多尝试次数也是N）。
• 乐观情况，鸡蛋A没摔碎，接下来就可以尝试从75层扔下，碎了那就是N在51-74之间了。尝试次数为1+1+（74-51）=25次。
• 更乐观情况，鸡蛋A在75层也没碎，接下来可以在87层扔下；A碎了则N在76-86之间，故是需要1+1+1+（86-76）=13次。
• A没碎，接下来在93层扔下；A碎了则N在88-92之间，故需要扔1+1+1+1+（92-88）=8次。
• A没碎，接下来在96层扔下；A碎了则N在94-95之间，故需要扔1+1+1+1+1+（95-94）=6次。
• A没碎，接下来在98层扔下；A碎了则N在97，故需要扔1+1+1+1+1+1=6次。
• A没碎，则A在99-100之间，如需要扔6+1=7次。

可见，用二分法结果很不稳定，特别是N小于50时最糟糕（甚至会比第一种直接遍历的还要多一次）。N越大越好找，需要尝试的次数越少。
如果这个题目换成鸡蛋个数不限制，那就是用二分法最快了。

3、平均分割楼层法——假设总共扔X次，其中鸡蛋A扔了X1次，鸡蛋B扔了X2次

• X=X1+X2
• 鸡蛋A用来做楼层平均分割，大步尝试；鸡蛋B作为每一小部分的遍历小步尝试。
• 假设将100层平均分为10部分，即鸡蛋A分别在第10、20、30、40、50、60、70、80、90、100层扔；则鸡蛋B在A摔碎后在细分的那个楼层小步遍历寻找即可。如此的平均尝试次数又要比二分查找更好。
• 但问题是如何找到最优的平均分割n段，X1=n，X2=100/n。
  X=n+100/n，可见n平方=100即n等于10时，X=20。

• 若能在后面每一段更准确地分析出应该分的楼层数（如图2），而不是平均10层一段（如图1），会有更优的效果。下一个方法就是这样。

  
  
   

  

   

4、假设法——假设最多允许尝试X次，问能尝试到的最高的楼层。

• 第1次从X楼扔下来。因为即使摔坏了，也可以用另一个鸡蛋遍历X-1次找到该楼层。
• 第2次（还剩X-1次尝试次数）可以从X+(X-1)层扔下来。因为即使摔碎了，也可以用另一个鸡蛋遍历X-1-1次找到该楼层。
• 同理，第3次，可以从X+(X-1)+(X-2)层扔下来。
• 第X次。可以从第X+(X-1)+(X-2)+...+(X-(X-2))+1层扔下来，这就是最高可能尝试到的楼层X*(X+1)/2，下面所有的楼层都可以在X次尝试中到达。

当最高楼层为100时，可列出不等式：最高可能尝试到的楼层X*(X+1)/2 > 100，解出X=14次。这就是最稳定的最快寻找到该楼层的扔鸡蛋次数。也就是说第一次扔鸡蛋要从14楼开始扔。14+13+12+11+...+2+1 = 105层，也就是14次尝试一定可以在1-105层中找到那个第N层。推出了公式X*(X+1)/2后，要想编程求任意总楼层条件下，就都很方便了。

5、动态规划法——找最优解常用方法

在我们编程解决问题的过程中，如果遇到最优问题的时候，往往可以先尝试一下动态规划的方法。而动态规划的方法，首要的我们要找到构成这个最优问题的最优子问题。所以，下面的分析，我们首先尝试动态规划的方法，如何解决这个问题，这也是典型的程序员的思路；其次，在众多的问题当中，有不少可以直接归结为数学方程式，如果我们能够写出数学方程式，那么，答案将是更加的简洁、美妙（比如上一种方法推导出来的公式）。

• 基于动态规划的方法 前面提到，若要采用动态规划的方法，最重要的是要找到子问题。做如下的分析，假设F{n}表示从第n层楼扔下鸡蛋，找到不摔碎鸡蛋楼层的最少尝试次数。第一个鸡蛋可能从第i层扔下，有两个情况：

• 碎了，第二个鸡蛋，需要从第一层开始试验，最多要尝试i-1次。

• 没碎，两个鸡蛋，还有n-i层。这个就是子问题了f[n-i] 。

所以，当第一个鸡蛋，由第i个位置落下的时候，要尝试的次数为f[i]= 1 + max(i - 1, f[n-i])用max是确保一定可以在这么多次内找到。那么对于每一个i对f(i)进行比较，非最小的f(i)，就是F{n}的值。状态转移方程如下： F{n} = min f[i] = min(1 + max(i - 1, f[n-i]) ) 其中: i的范围为(1, n), f[1] = 1 完毕。

推广动态规划的方法，可以推广为n层楼，m个鸡蛋。如下分析： 假设f{n,m}表示n层楼、m个鸡蛋时找到最高楼层的最少尝试次数。当第一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全楼层，还需要f{i-1,m-1}次，找到子问题；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次，又一个子问题。 状态转移方程如下： f{n, m} = min(1 + max(f{i - 1, m - 1}, f{n - i, m}) ) 其中： i为(1, n), f{i, 1} = 1

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 55;
const int M = 1010;
int dp[N][M];//剩余i个鸡蛋在j层楼进行的最少次数
int n, m;

void init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i < N; ++i)
    {
17         dp[i][1] = 1;
    }
    for(int i = 1; i < M; ++i)
        dp[1][i] = i;
    for(int i = 2; i < N; ++i)
        for(int j = 2; j < M; ++j)
            for(int k = 1; k < j; ++k)//最坏情况的最少次数，碎和没碎两种情况取最大值
                dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i][j-k]+1, dp[i-1][k-1]+1));
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    init();
    while(t--)
    {
        int cas;
        scanf("%d %d %d", &cas, &n, &m);
        printf("%d %d\n", cas, dp[n][m]);
    }
    return 0;
}