机器学习：支持向量机2
本文来自同步博客。
P.S. 不知道怎么显示数学公式以及更好的排版内容。所以如果觉得文章下面格式乱的话请自行跳转到上述链接。后续我将不再对数学公式进行截图，毕竟行内公式截图的话排版会很乱。看原博客地址会有更好的体验。
上一篇文章介绍了机器学习中支持向量机的基本原理，并且在文章末尾介绍了一种利用Python求解二项规划问题极值的方法。这篇文章我将利用这种方法一步步求解上文中提及的$-\vec{\alpha}-$、$-\vec{w}-$、$-b-$，借此复习和验证支持向量机的知识点。
数据
下面看一组测试数据：
data = { '+': [ [1, 7], [2, 8], [3, 8], [2, 6.5] ], '-': [ [5, 1], [6, -1], [7, 3] ] }
数据data是拥有两种已经分好类的数据，每种类型的数据的元素都是二维向量，可以在笛卡尔坐标系中表示。
依照上一篇文章讲述的原理，我们需要利用这些数据求解一个$-\vec{\alpha}-$向量。也就是我们需要求解使得二项规划方程值最小时的$-\vec{\alpha}-$向量：
$$
F(\vec{\alpha}) = \frac{1}{2}\vec{\alpha}_{T}H\vec{\alpha} + \vec{c}\vec{\alpha} + c_0， \vec{y}^{T}\vec{\alpha} = 0， \vec{\alpha} \ge 0
$$
很明显，在支持向量机中，$-c_0 = 0-$。
参数求解
首先利用输入的测试data准备上述方程中出现的变量$-H，c，c_0-$。参考下面代码：
def parseXYC(d): X = [] y = [] c = [] for _, v in enumerate(d['+']): X.append(np.array(v)) y.append(1) c.append(-1) for _, v in enumerate(d['-']): X.append(np.array(v)) y.append(-1) c.append(-1) return X, y, c, 0 X, y, c, c0 = parseXYC(data)
parseXYC函数把data格式化成$-X, y, c, c_0-$。
然后计算$-H-$矩阵的值。比较简单，一行代码就可以得到：
H = np.array([y[i] * y[j] * np.dot(X[i], X[j]) for i in range(len(X)) for j in range(len(X))]).reshape(len(X), len(X))
求解$-\vec{\alpha}-$
所有数据都准备好了，接下来就是带入optimize.minimize函数中计算结果。
这里有几个超出本文描述范围的难点需要简单提及一下：
optimize.minimize函数求解二项规划使用的SLSQP方法既需要用到二项方程的雅各比导函数，也需要用到约束条件函数的雅各比导函数。不清楚这点导致我在测试过程中一直无法求解到正确的值。- 不等式约束条件$-\vec{\alpha} \ge 0-$无法在作为约束条件参数
constraints传递给optimize.minimize函数。我猜测是因为我构造的不等式参数是错误的，因此无法让不等式约束条件生效。我尚无法解决这个问题，希望了解该问题的同学能留言赐教。作为一种补救方法，我利用边界约束参数bounds描述$-\vec{\alpha} \ge 0-$这个不等式。 - 求解出来的$-\vec{\alpha}-$向量中，部分应该为0的元素无法完整精确到0。我观察测试结果总结出来的精确度应该在1e-16，因此在负16次方这个精确度下的值我都假设它就是0。经过绘图验证，我发现这个假设是合理的。
下面开代码实现：
# 定义二项规划方程fun及其雅各比方程jac def fun(x, sign=1.): return sign * (0.5 * np.dot(x.T, np.dot(H, x))+ np.dot(c, x) + c0) def jac(x, sign=1.): return sign * (np.dot(x.T, H) + c) # 定义等式约束条件方程feq及其雅各比方程jeq def feq(x): return np.dot(y, x) def jeq(x): return np.array(y) # 生成相关参数 diff = 1e-16 bounds = [(0, None) for _ in range(len(y))] # x >= 0 constraints = [{ 'type': 'eq', 'fun': feq, 'jac': jeq }]# y*x = 0 options = { 'ftol': diff, 'disp': True } guess = np.array([0 for _ in range(len(X))]) # 计算结果 res_cons = optimize.minimize(fun, guess, method='SLSQP', jac=jac, bounds=bounds, constraints=constraints, options=options) alpha = [ 0 if abs(x - 0) <= diff else x for x in res_cons.x ] # 输出结果与校验y*alpha的值是否为0 print('raw alpha: ', res_cons.x) print('fmt alpha: ', alpha) print('check y*alpha: ', 'is 0'if (abs(np.dot(y, res_cons.x) - 0) < diff ) else 'is not 0')
求解$-\vec{w}-$和$-b-$
# 计算w = sum(xi*yi*Xi) w = np.sum([ np.array([0, 0]) if alpha[i] == 0 else (alpha[i] * y[i] * X[i]) for i in range(len(alpha))], axis=0) print('w: ', w) # 计算b，对support vector有：yi(w*xi + b) = 1，既有：b = 1/yi - w*xi B = [( 0 if alpha[i] == 0 else ( 1 / y[i] - np.dot(w, X[i]) ) ) for i in range(len(alpha))] B = list(filter(lambda x: x != 0, B)) b = 0 if len(B) <= 0 else B[0] print('b: ', b)
至此支持向量机的参数求解过程完毕。
运行结果如下图所示：
绘图
最后把数据绘制成图像。
limit = 11 plt.xlim(-2, limit) plt.ylim(-2, limit) # 绘制数据点 [plt.scatter(X[i][0],X[i][1], s=100, color=('r' if y[i] > 0 else 'y')) for i in range(len(X))] # 绘制分割超平面L： wx + b = 0 plt.plot([i for i in range(limit)], [(-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)]) # 绘制上下边： wx + b = 1/-1 plt.plot([i for i in range(limit)], [(1-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)]) plt.plot([i for i in range(limit)], [(-1-b - w[0]*i)/w[1] for i in range(limit)]) plt.show()
效果如下图。其中红点为'+'样本，绿点为'-'样本。中间的蓝色线为分类的标准线。边界线，即红色线和绿色线分别穿过各自类别中最靠近分类标准线的点。这些点就是支持向量，只有这些向量所对应的$-vec{\alpha}-$分量才为非零值。
本文源码
