机器学习：支持向量机
本文来自同步博客。
P.S. 不知道怎么显示数学公式以及更好的排版内容。所以如果觉得文章下面格式乱的话请自行跳转到上述链接。后续我将不再对数学公式进行截图，毕竟行内公式截图的话排版会很乱。看原博客地址会有更好的体验。
上一篇文章使用KNN算法解决机器学习的分类问题。本文将介绍另一种号称解决分类问题的最佳算法，叫支持向量机SVM(Support Vector Machine)。
这篇文章将不立即从代码开始介绍SVM，而是从理论知识开始了解其原理，最后用代码实践并验证我们对知识的理解。
基本原理
SVM的目标是找到一个超平面，使得超平面到最近样本点之间的间隙最大化，从而把样本点切割成不同的子空间以得到分类的效果。
看上面图片所列举的三种针对同一空间中样本数据的切割方法。最后一种才是符合SVM要求的切割方法。
需要加深一下大家的印象：
- 在一维空间中，这个超平面是一个点；
- 在二维空间中，这个超平面是一条线；
- 在三维空间中，这个超平面是一个面；
- 更多维的空间，呵呵，我想象不了...
如果仅仅依靠点线面只能处理具有线性可分割特征的数据，而当样本数据无法进行线性切割时，是不是SVM就不适用了呢？不是的，对这种场景，可以通过一些转换函数，把直线或者平面变成曲线或者曲面进行切割。
本文还是我们先从可以线性切割的简单的场景出发进行推导SVM的基本原理。有关无法进行线性切割的内容，我们将在后面介绍。
数学推导
为了找到符合SVM要求的超平面，我们需要先通过数学语言描述它。请看下图：
在这个空间中有四个样本点分成了两类，红色的表示“+”类，黄色表示“-”类。图中的实线L就是我们在这个空间中根据SVM定义找到的超平面。样本点A、B、C、D等在空间中均用向量表示，特别地，落在虚线上的点A、B、C作为间隙的边界点而存在，将会为计算超平面作出贡献，因此成为Support Vector。这应该就是Support Vector Machine名字的由来。
现在我们定义一个向量$-\vec{w}-$，它垂直于超平面L，是L的法向量。则使用法向量$-\vec{w}-$描述超平面L为：
$$\vec{w}^{T}(\vec{x} - \vec{x_0}) = 0 $$
其中$-\vec{x_0}-$为$-\vec{w}-$与超平面的交点。令$-b = -\vec{w}\vec{x_0}-$，L可以表示为：
$$式子1： \vec{w}^{T}\vec{x} + b = 0$$
针对一个新的数据点$-\vec{u}-$，如果点落在超平面L的右上方，则判定这个数据点为“+”类；若是落在L的左下方则判定为“-”类。即决策规则为：
$$
Rule: \begin{cases}
\vec{w}^{T}\vec{u} + b > 0, & \mbox{if }\vec{u}\mbox{ is class '+'} \\
\vec{w}^{T}\vec{u} + b < 0, & \mbox{if }\vec{u}\mbox{ is class '-'}
\end{cases}
$$
我们的目标是确定超平面L。但是由于$-\vec{w}-$的长度是不清楚的，$-b-$也受之影响而无法确定。它们可以有太多太多中组合了。所以接下来需要通过样本数据来约束$-\vec{w}-$和$-b-$的取值范围，为我们求解提供依据。
原本对于对所有样本点$-x_i-$，满足：
$$
\begin{array}{lcl}
\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b > 0，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '+'} \\
\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b < 0，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '-'}
\end{array}
$$
为了增加约束条件从而限制$-\vec{w}-$的取值范围，我们把超平面分别向右上和左下平移，直至到达虚线位置。并且限定右上虚线和左下虚线的表达式为：$-\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b = 1-$和$-\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b = -1-$。能够同时满足超平面以及两个虚线位置的超平面表达式的$-\vec{w}-$和$-b-$组合一定是存在的。那么所有的样本点$-x_i-$都将满足下面不等式：
$$
式子2: \begin{cases}
\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b \ge 1，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '+'} \\
\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b \leq -1，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '-'}
\end{cases}
$$
这个不等式组利用了样本点已经确定了所属类这个已知条件来约束$-\vec{w}-$的取值范围。选择“1”和“-1”则是一个数学技巧，让后续计算中更加方便，它并不影响计算过程。
接下来，引入分类变量$-y_i-$：
$$
式子3: \begin{cases}
y_i = 1，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '+'} \\
y_i = -1，& \mbox{if }\vec{x_i}\mbox{ is class '-'}
\end{cases}
$$
式子2和式子3两个方程组分别相乘，并把右边的1移到左边，可以得到一个统一的不等式：
$$式子4：y_i(\vec{w}^{T}\vec{x_i} + b) - 1 \ge 0$$
这个不等式只有落在SVM分割间隙的边缘（即图中虚线）的样本点（如：A、B、C）才能使等号成立。
到这里，请重新回到SVM的原理：寻找让间隙最大化的超平面作为分类的决策边界。我们需要确定分割间隙的宽度的计算函数。假设在间隙两个边缘（两条虚线）处分别取样本$-\vec{x_+}-$和$-\vec{x_-}-$，对应类型取值为$-y_+ = 1-$、$-y_- = -1-$，可以得到：
$$
\begin{align}
width &= \frac{\vec{w}^{T}}{|\vec{w}|}(\vec{x_+} - \vec{x_-}) \\
&= \frac{1}{|\vec{w}|}(\vec{w}^{T}\vec{x_+} - \vec{w}^{T}\vec{x_-}) \\
&= \frac{1}{|\vec{w}|}(\frac{1-b}{y_+} - \frac{1-b}{y_-})\\
&= \frac{1}{|\vec{w}|}(\frac{1-b}{1} - \frac{1-b}{-1})\\
&= \frac{2}{|\vec{w}|}
\end{align}
$$
为了让间隙的宽度取得最大，可以推导出：
$$
式子5：\begin{align}
& Maximize(width） \\
&\Leftrightarrow Maximize(\frac{2}{|\vec{w}|}） \\
&\Leftrightarrow Minimize(|\vec{w}|)\\
&\Leftrightarrow Minimize(\frac{1}{2}|\vec{w}|^2)\\
&\Leftrightarrow Minimize(\frac{1}{2}\vec{w}^{T}\vec{w})
\end{align}
$$
有了这个依据，利用拉格朗日乘子法求不等式约束条件下的极值问题，可以构造这样的函数：
$$
L(\vec{w}, b, \vec{\alpha}) = \frac{1}{2}\vec{w}^{T}\vec{w} - \sum_{i}{n}{\alpha_i[y_i(\vec{w}{T}\vec{x_i})-1]}, \alpha_i \ge 0, i = 1,2...n
$$
在这里问题的目标是求让$-L(\vec{w}, b, \vec{\alpha})-$最小时的$-\vec{w}-$、$-b-$和$-\vec{\alpha}-$，因此先分别对$-\vec{w}-$和$-b-$求偏导：
$$
\frac{\partial L}{\partial \vec{w}} = \vec{w} - \sum_{i}^{n}{\alpha_i y_i \vec{x_i}}，
\frac{\partial L}{\partial b} = - \sum_{i}^{n}{\alpha_i y_i}
$$
让偏导函数等于0，有：
$$
\vec{w} = \sum_{i}^{n}{\alpha_i y_i \vec{x_i}}， \sum_{i}^{n}{\alpha_i y_i} = 0
$$
在这里先不求出关于$-\vec{\alpha}-$的偏导，而是把上述两个等式代回拉格朗日函数L，从而可以得到一个关于$-\vec{\alpha}-$的函数:
$$
L(\vec{\alpha}) = \sum_{i}^{n}{\alpha_i} - \frac{1}{2}\sum_{i}{n}{\sum_{j}{n}{\alpha_i \alpha_j y_i y_j \vec{x_i}^{T} \vec{x_j}}}， \sum_{i}^{n}{\alpha_i y_i} = 0， \alpha_i,\alpha_j \ge 0， i,j = 1,2...n
$$
根据对偶问题的思想，上述最小化问题可转为求使$-L(\vec{\alpha})-$最大化的$-\alpha-$（参考KKT条件问题）。
对上式两边添加负号，进一步转换问题：求让$- -L(\vec{\alpha})-$最小化的$-\alpha-$。这时有：
$$
F(\vec{\alpha}) = -L(\vec{\alpha}) = \frac{1}{2}\vec{\alpha}^{T}\begin{bmatrix}
y_{1}y_{1}\vec{x_1}^{T}\vec{x_1} & y_{1}y_{2}\vec{x_1}^{T}\vec{x_2} & \cdots & y_{1}y_{n}\vec{x_1}^{T}\vec{x_n} \\\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\
y_{n}y_{1}\vec{x_n}^{T}\vec{x_1} & y_{n}y_{2}\vec{x_n}^{T}\vec{x_2} & \cdots & y_{n}y_{n}\vec{x_n}^{T}\vec{x_n} \\\\
\end{bmatrix}\vec{\alpha}
+ \begin{bmatrix}
-1 & -1 & \cdots & -1 \\\\
\end{bmatrix} \vec{\alpha}， \vec{y}^{T}\vec{\alpha} = 0， \vec{\alpha} \ge 0
$$
啊哈，这是二次规划的形式，可以利用二次规划求解。我们需要求解能够使$-F(\alpha)-$最小的$-\alpha-$值，然后通过$-\alpha-$才可以得到$-\vec{w}-$和$-b-$。
这里提供一个使用scipy求解二次规划的代码示范：
import numpy as np from scipy import optimize # 形如：F = (1/2)*x.T*H*x + c*x + c0 # 约束条件：Ax <= b # 现在假设已知参数如下： H = np.array([[2., 0.], [0., 8.]]) c = np.array([0, -32]) c0 = 64 A = np.array([[ 1., 1.], [-1., 2.], [-1., 0.], [0., -1.], [0., 1.]]) b = np.array([7., 4., 0., 0., 4.]) # 设置初始值 x0 = np.random.randn(2) def loss(x, sign=1.): return sign * (0.5 * np.dot(x.T, np.dot(H, x))+ np.dot(c, x) + c0) def jac(x, sign=1.): return sign * (np.dot(x.T, H) + c) cons = {'type':'ineq', 'fun':lambda x: b - np.dot(A,x), 'jac':lambda x: -1 * A} opt = {'disp':False} res_cons = optimize.minimize(loss, x0, jac=jac,constraints=cons, method='SLSQP', options=opt) print(res_cons)
源码见Github。
