[USACO06NOV]玉米田Corn Fields——状态压缩dp

题目

题干

　　农场主John新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成M行N列 (1 ≤ M ≤ 12 ; 1 ≤ N ≤ 12 ，每一格都是一块正方形的土地。John打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是John不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。John想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？
输入输出格式

输入格式：
第一行：两个整数M和N，用空格隔开。第2到第M+1行：每行包含N个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第i+1行描述了第i行的土地，所有整数均为0或1，是1的话，表示这块土地足够肥沃，0则表示这块土地不适合种草。

输出格式：
一个整数，即牧场分配总方案数除以100000000的余数。

输入样例#1：
2 3
1 1 1
0 1 0
输出样例#1：
9

分析

有一个m乘n的矩阵，每一个方格是一个牧场，每一个牧场适合种玉米的用1表示，不适合的用0表示。这样做就记录了“障碍”

注意，一头牛都不放亦是一种方案，不要漏项。

我们目前有N列，也就是说，每一行里有N个方格。例如N为3，使用二进制数字表示，则一行里所有可能的状态有（先不考虑障碍问题）：

000

001

010

011

100

101

110

111

一共有如上七种状态。明显的，在有N个格子的一行中，状态数目为2^N-1种，正好对应十进制数字0，1，2，3，4……2^N-1

现在，我们要考虑各种障碍问题。由于每一行的状态只和上一行有关，

我们有三种障碍需要考虑：

1，玉米地本身是否适合。

2，同一行内左右不能有相邻的两个“1”

3，本行与上一行不可以有上下相邻的两个“1”

我们依次考虑。

1，玉米地本身是否适合。

　　刚刚我们说了，每一个方格适合种玉米的用1表示，不适合的用0表示。我们使用a数组表示这个障碍。a [ x ]表示第x行的障碍情况。

　　比如当前我们正在处理第 i 行，在第 i 行中枚举所有可能的状态，其状态对应的十进制数字是 j ，那么就有如下要求

　　j==( a [ i ] & j );

　　因为a数组里“1”表示的是“可以放置牛”，所以说，如果 a [ i ] & j == j 了，那么意思就是j 中的所有需要的“1”，a [ i ]中都有。

　　如果等号不成立，那么就是a [ i ] 中有某些位置是0，而j中需要1，这样做显然是不可以的。

2，同一行内左右不能有相邻的两个“1”

　　我们把 j 左移一位，再与 j 本身 作与运算，必须满足该运算的结果是 0 ，才符合要求。即：

　　j & ( j << 1 ) == 0 ;

　　举例子：

　　j          001000101000100100   （没有相邻的1）

　　j<<1    010001010001001000 

　　结果:   000000000000000000   符合要求

 

　　j         0010001100111000010    （有相邻的1）

　　j<<1   0100011001110000100

　　结果   0000001000110000000    不符合要求

　　结合例子，我们可以玄学理解：当没有相邻的“1”的时候，这个数列就像一个“钉耙”一样，向左移动一位之后，很明显是“钉耙齿 对着 钉耙缝”，与运算后就全都归0

　　　　　　　　　　　　　　　　当有相邻的“1”的时候，这个数列左移，00110与01100就会在第三位上产生1，就不符合。

3，本行与上一行不可以有上下相邻的两个“1”

　　刚刚讲到，我们用 i 表示处理的阶段：即我们现在呆在第 i 行。 i 行现在的状态是 j

　　我们现在再用k，来表示i-1行（上一行）的所有状态。

　　当 j & k ==0 很显然是合法的。如果非0，那么j和k肯定在某位置上都是1，不满足上下不可以有相邻“1”的条件。

　　注意，我们自上而下考虑，所以不关 i + 1 行， i + 2 行……后面那些行的事情

　　而且依题意，本行的状态明显只与上一行的状态有关联。所以只考虑i与i-1的关系，而不去考虑 i 与 i - 2，i - 3 … …

　　

如此，障碍分析完毕。动态转移方程自然就有

定义 f [ i ] [ j ] 为：前 i 行中 （且第 i 行 的状态 j 为合法的时候） 所有放牧的方案数目。

转移方程： f [ i ] [ j ] += f [ i - 1 ] [ k ] ，（k就是刚刚分析中那个k，即  ( j & k )  ==0 的那个k）

最后统计答案的时候，要注意ans把 f [ N ] [ j ] 所有 j 状态 都加上，再模上余数（当然模的操作在转移的时候就应当操作，否则可能会炸）

代码

 

 

当然，它还没有完。

这样做显然时间效率极其低下，为所以为了节省空间与时间，进行如下优化：

 

1，由于障碍的存在，导致状态 j 中本身就有许多许多不合法的。我们可以预处理，将所有不合法的 j 剔除，将所有合法状态 j 的代表十进制数字储存在一个新容器内，使用的时候调用所有容器内合法的状态就可以了。

2，由于每一行状态仅仅与上一行状态相关，所以可以使用两行滚动数组压维。

我们使用b数组记录所有合法状态。

 

 

祝AC