第6题——最大的奇约数

小易是一个数论爱好者，并且对于一个数的奇数约数十分感兴趣。一天小易遇到这样一个问题： 定义函数f(x)为x最大的奇数约数，x为正整数。 例如:f(44) = 11.
现在给出一个N，需要求出 f(1) + f(2) + f(3).......f(N)
例如： N = 7 
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 3 + 7 = 21
小易计算这个问题遇到了困难，需要你来设计一个算法帮助他。 

输入描述:

输入一个整数N (1 ≤ N ≤ 1000000000)

输出描述:

输出一个整数，即为f(1) + f(2) + f(3).......f(N)

输入例子1:

7

输出例子1:

21

运行超时的代码：

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        while(sc.hasNext()){
            int N=sc.nextInt();
            int sum=0;
            int i=1;
            while(i<=N){//奇数的最大约数就是本身,直接求和
                sum+=i;
                i=i+2;
            }
            int j=2;
            while(j<=N){//2 6 10 14的最大约数是其一半
                sum=sum+j/2;
                j=j+4;
            }
            int k=4;
            while(k<=N){//其它的数
                sum+=evenDivisor(k);
                k=k+4;
            }
            System.out.println(sum);
        }
        sc.close();
    }
    //偶数求最大约数的方法*********超时：算法复杂度过大
    private static int evenDivisor(int even){
        ArrayList<Integer> arr=new ArrayList<Integer>();
        for(int i=1;i<=even;i++){
            if(even%i==0){
                arr.add(i);
            }
        }
        int res=1;
        for(int i=0;i<arr.size();i++){
            if(arr.get(i)%2==1){
                res=arr.get(i);
            }
        }
        return res;
    }
}

还是运行超时的：

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        while(sc.hasNext()){
            int N=sc.nextInt();
            int sum=0;
            for(int i=1;i<=N;i++){
                sum+=maxOdd(i);
            }
            System.out.println(sum);
        }
        sc.close();
    }
    //偶数求最大约数的方法
    private static int maxOdd(int m){
        if(m%2==0){
            m=m/2;
            return maxOdd(m);
        }else{
            return m;
        }
    }
}

所以，不能直接求最大约数，必须找到求和的规律

参考代码：https://www.nowcoder.com/test/question/done?tid=9685251&qid=46577#summary

import java.util.Scanner;

public class Main{
     
    public static void main(String[] args) {
        Scanner s=new Scanner(System.in);
        long num=s.nextInt();
        long sum=0;
        for(long i=num;i>0;i=i/2){
            long temp=(i+1)/2;
            sum+=temp*temp;
        }
        System.out.println(sum);
    }
}

总体思路：

因为奇数的最大奇数约数就是自己啊，对于偶数我们只能一直除2直到得到一个奇数即为最大奇数约数

 

比如1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

即n=10 ，此时奇数有1 3 5 7 9 我们把这几个奇数相加然后n/2

得到第二轮序列序列 1 2 3 4 5 分别对应上次的2 4 6 8 10 五个偶数，这是我们再加1 3 5

依次类推

 

细节问题：

当n为偶数，就有n/2个奇数，根据等差数列求和公式 即(（首项+末项）*项数)/2,我们知道n/2个奇数和为((1+n-1)*n/2)/2,

即为(n/2) * (n/2),此时n为偶数，因此 (n/2) * (n/2) = ((n+1)/2)  *  ((n+1)/2)

 

当n为奇数，有(n+1)/2个奇数，此时奇数和为((n+1)/2)  *  ((n+1)/2)

因此两种情况可以用一个等式来总结