「分数规划」学习笔记及做题记录

「分数规划」学习笔记及做题记录

做题时发现不会分数规划，赶紧来学一下。

分数规划用于求解下面一类问题：

有 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的价值为 $a_i$，费用为 $b_i$。从中选择若干个物品，使得价值与费用的比值 $\dfrac{\sum a}{\sum b}$ 最大/最小。

另一种更严谨的表示方法是：给第 $i$ 个物品钦定 $w_i \in \{1, 0\}$ 表示选/不选该物品，使得 $\dfrac{\sum_{i=1}^{n} w_i \times a_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i \times b_i}$ 最大。

分数规划使用二分法来求解该问题。以求最大值为例，二分比值 $x$，求解判断问题：是否存在方案，使比值大于等于 $x$ （由于是实数二分，加不加等于其实无所谓）。那么式子化为：

$$\dfrac{\sum_{i=1}^{n} w_i \times a_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i \times b_i} \ge x \\ \Longrightarrow \sum_{i=1}^{n} w_i \times (a_i - x \times b_i) \ge 0$$

这样，只需求出不等号左边式子的最大值。如果该最大值不小于 $0$，说明比值可以达到 $x$，否则不可以。

可以发现，这样转化问题的最大好处是：我们消去了除法。如果把 $a_i - x \times b_i$ 看作第 $i$ 个物品的新权值 $c_i$，那么我们只要研究如何取到这一个权值的和的最大值，而不用研究两个权值的比，这往往能带来极大的便利。

而分数规划的主要难点也就在于求出新权值 $c_i$ 的最大和。下面以几道例题为例来讲解。（由于二分的过程是类似的，下面只研究如何求出新权值的最大和）

例题

I. [USACO18OPEN] Talent Show G

问题转化后：第 $i$ 个物品的权值为 $a_i$，费用为 $w_i$，并且总费用不小于 $W$。

可以用背包 dp 来求解。设 $f(i, v)$ 表示在前 $i$ 个物品中，选择若干个使得费用和为 $v$ 时，权值的最大值。但这里有一个问题：$w_i \le 10^6$，因此 dp 数组的第二维要开到 $n \times w \le 2.5 \times 10^5$，这样的时空复杂度都是无法接受的。但我们注意到，大于等于 $W$ 的重量都可以直接视为 $W$，这样并不改变答案。也就是说，$f(i, W)$ 表示的实际上是费用和不小于 $W$ 时，权值的最大值。转移的时候，使用“我为人人”的转移方法，可以使代码实现更简洁。详见代码。

bool check(double x)
{
	vector<double> a(n + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] = t[i] - x * w[i];
	vector<vector<double>> f(n + 1, vector<double>(W + 1, -1e9));
	f[0][0] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		copy(f[i - 1].begin(), f[i - 1].end(), f[i].begin()); // 如果不用滚动数组，必须写这一行
		for(int v = 0; v <= W; v++) // “我为人人” 
		{
			int j = min(W, v + w[i]);
			f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][v] + a[i]);
		}
	}
	return f[n][W] >= 0;
}

提交记录

II. [JSOI2016] 最佳团体

树上背包即可。

void dfs(int u)
{
	sz[u] = 1, f[u][1] = a[u];
	for(int v: G[u])
	{
		dfs(v);
		sz[u] += sz[v];
		for(int i = min(m, sz[u]); i > 1; i--)
		{
			for(int j = max(0, i + sz[v] - sz[u]); j <= min(i - 1, sz[v]); j++)
				f[u][i] = max(f[u][i], f[v][j] + f[u][i - j]);
		}
	}
}

bool check(double x)
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] = val[i] - x * w[i];
	
	fill(f.begin(), f.end(), vector<double>(m + 1, -1e9));
	dfs(rt);
	return f[rt][m] >= 0; 
}