CF2000 A~C 题解
Codeforces Round 967 (Div. 2) A~C 题解(未完待续)
唐完了,B 构造不会,C 交互不会,整场爆切 11 题喜提 −115−115 rating 强势上灰!我还会什么?
I. 2001A - Make All Equal
先找出答案的下界。设众数为 xx,其出现的次数为 cnt(x)cnt(x)。由于每次操作只能删除一个数,答案不可能小于 n−cnt(x)n−cnt(x)。
下面证明这个下界是可以达到的。用 yy 代表所有的非众数,那么在非众数被删光之前,序列可以表示成 x…x,y…y,…x…x,y…y,… 之类 xx 与 yy 的连续段交替出现的形式。只需证明一定存在一对相邻元素(这里的相邻指环上的相邻)满足前者小于后者即可。
反证法,如果不存在,则 x>y>⋯x>y>⋯。由于序列是一个环,所以可以导出 x>xx>x,这是不可能的,故得证。
II. 2001B - Generate Permutation
我是傻逼,我没做出来这题
先考察满足要求的序列有什么性质。可以发现(事实上,我并没有发现),对于从左往右的打字员来说,假设他已经打出了 xx,要打 x+1x+1,只有 posx>posx+1posx>posx+1 时他才要按一次回车(其中 posxposx 表示 xx 的下标)。因此他按回车的次数 c1=∑n−1i=1[posx>posx+1]c1=∑n−1i=1[posx>posx+1]。
(这里应该模拟一下打字的过程才能更顺理成章地发现这个结论:假设我已经打出了 xx,要打 x+1x+1,我能直接移动然后打出来,还是必须得回车?显然,只有 x+1x+1 在 xx 前面时才要回车,这就对应了 posx>posx+1posx>posx+1。这样想的话,这个结论并不难得出,但是我为什么没想到呢?)
同样的,对于从右往左的打字员,只有 posx<posx+1posx<posx+1 时他才要按一下回车,因此他按回车的次数 c2=∑n−1i=1[posx<posx+1]c2=∑n−1i=1[posx<posx+1]。
合法的序列应该满足 c1=c2c1=c2。显然,对于 xx 和 x+1x+1,要么 posx>posx+1posx>posx+1 成立,要么 posx<posx+1posx<posx+1 成立,所以 c1+c2=n−1c1+c2=n−1,因此 c1=c2=n−12c1=c2=n−12。这就说明 nn 是偶数时一定没有合法方案。
nn 是奇数时,可以手模出许多合法的方案。以 n=7n=7 为例,一种好想的思路是:先用一堆降序的数把 c1c1 给占满,比如 7,6,5,47,6,5,4。那么剩下的数必须是升序的,否则会让 c1c1 变大。直接填进去即可: 1,2,3,7,6,5,41,2,3,7,6,5,4 就是可行的。(你会发现 7,6,5,4,1,2,37,6,5,4,1,2,3 是不可行的,因为 (3,4)(3,4) 这一对让 c1c1 变大了)。
因此,nn 是奇数时, 1,2,…,⌊n−12⌋,n,n−1,…,⌊n+12⌋1,2,…,⌊n−12⌋,n,n−1,…,⌊n+12⌋ 是一个合法的方案。这里用不同颜色区分构造时分别填入的两段。
void solve()
{
int n;
cin >> n;
if((n & 1) == 0)
{
cout << -1 << endl;
return;
}
vector<int> ans(n);
iota(ans.begin(), ans.end(), 1);
reverse(ans.begin() + (n/2), ans.end());
for(int x: ans) cout << x << ' ';
cout << endl;
}
III. 2001C - Guess The Tree
下面是官方题解的思路。我自己想不出来这个做法,所以不知道用什么语言来引入。
把点划分为两个点集 AA 和 BB,AA 中的点是知道其内部边集的点,BB 中的点是不知道的。
初始时,任意把一个点加入 AA 中(例如 11),BB 是剩下的 n−1n−1 个点。
我们的策略是:每次把一个新的点加入到 AA 中。这个点必须和原来 AA 中的某个点有连边,否则根本无法把它加入 AA。
任选点 u∈Au∈A,v∈Bv∈B,查询 u,vu,v 的中点 xx。如果 x∈Ax∈A,则令 u←xu←x,否则令 v←xv←x。这里的要义是,时刻保证 u∈Au∈A 且 v∈Bv∈B。最终当 x=ux=u 时,就表明 uu,vv 之间有边相连,可以更新答案的边集。由于我们保证了 v∈Bv∈B,所以可以把 vv 加入到 AA 中,并在 BB 中删掉 vv。
这里的查找类似二分,每次找到一个新点的查询次数不会超过 lognlogn,总次数不超过 nlognnlogn,可以通过此题。
但是我不知道我自己该如何想出这些东西
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