欧几里得算法求解最大公因数（gcd）正确性的证明

欧几里得算法求解最大公因数（gcd）正确性的证明

欧几里得算法是求解最大公因数（gcd）的简单且高效的算法。它的求解方法是以下的一个递归式：

$$\gcd(a, b) = \begin{cases} a & b = 0 \\ \gcd(b, a\bmod b) & b \neq 0 \end{cases}$$

（注意：上式规定 $a > b$，以方便讨论。由于 $\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$，这样规定也不会使这个式子失去一般性。如果想计算诸如 $\gcd(12, 18)$ 之类的值，只要用上式计算 $\gcd(18, 12)$ 即可。）

举个例子：$\gcd(18, 12) = \gcd(12, 6) = \gcd(6, 0) = 6$。

我们可以先分析一下这个递归式：第一种情况，当 $b = 0$ 时，有 $\gcd(a, 0) = a$，这是很显然的。因为任何数都是 $0$ 的因数，又因为 $a$ 是它本身最大的因数。我们不妨把这个情况当作“基本情况”，而第二个式子就是要把非一般的情况，转化为我们所知的、容易计算的基本情况。而这篇文章，主要就是证明第二种情况的式子为什么成立，即证明 $\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$。

要证明这个式子正确，我们先证明一个命题：设 $a$ 与 $b$ 的公因数所构成的集合为 $A$，$b$ 与 $a \bmod b$ 的公因数构成的集合为 $B$，则 $A = B$。换句话说，就是要证明所有 $a$ 与 $b$ 的公因数，都是 $b$ 与 $a \bmod b$ 的公因数（即 $A \in B$）；反过来，所有 $b$ 与 $a \bmod b$ 的公因数，也都是 $a$ 与 $b$ 的公因数（即 $B \in A$）。证明了这个命题之后，既然 $A$ 与 $B$ 相等，那么它们中最大的那个元素当然也就相等了。而 $A$ 与 $B$ 中的最大元素，不就分别是 $\gcd(a, b)$ 和 $\gcd(b, a \bmod b)$ 吗！

虽然我们把原先要证明的命题扩大了：原本只需证明 $a$ 与 $b$ 的最大公因数，等于 $b$ 与 $a \bmod b$ 的最大公因数；现在要证明 $a$ 与 $b$ 的所有公因数，等于 $b$ 与 $a \bmod b$ 的所有公因数。但是由于去掉了“最大”的特殊条件，要证明起来反而更容易。

具体怎么证明呢？

设 $g$ 是 $a$ 和 $b$ 的一个公因数，且 $a = a'g$ , $b = b'g$，要证明的就是 $g | (a \bmod b)$ （注：“$|$” 符号表示整除，$x | y$ 就表示 $x$ 是 $y$ 的因数）。从 $\bmod$ 运算的定义出发，若 $a = kb + r$，其中 $k$ 是满足 $kb \le a$ 的最大正整数，则 $a \bmod b = r = a - kb$。

把 $a = a'g$ , $b = b'g$ 代入，就得到 $a - kb = a'g - kb'g = g(a' - kb')$，所以显然 $g | (a \bmod b)$ 。上命题得证。用几个具体的数验证一下，设 $a = 18$. $b = 12$，则 $a \bmod b - 6$,$A = {1, 2, 3, 6}$,$B = {1, 2, 3, 6}$，确实 $A = B$。

综上，欧几里得算法的正确性证毕。