战略博弈

例子

最开始我看的是第一章的例子，先看看博弈论是干嘛的。

1. 巴克与斯特拉温斯基

有两个人希望一起去参加音乐会，他们俩要么去巴克的音乐会，要么去斯特拉温斯基的音乐会，但是只能一起去其中一个音乐会。第一个人喜欢去巴克的音乐会，第二个人喜欢斯特拉温斯基的。怎么选择？选择后两个人的利益情况是什么样的？

书中的做法很容易看懂，他们两个要一起去，就只有两种选择，要么去巴克的，要么去斯特拉温斯基的，假设去了自己喜欢的音乐会收益为2，去了不那么喜欢的音乐会收益为1，那么他们俩的方案和收益可以用表示成

	Bach	Stravinsky
Bach	2,1	0,0
Stravinsky	0,0	1,2

表中第一行的Bach表示第一个人去巴克的音乐会，Stravinsky表示第一个人去了斯特拉温斯基的音乐会，第一列表示第二个人的，中间2,1这些数字表示两个人的收益情况，逗号前面的表示第一个人的收益，逗号后面的表示第二个人的收益。

我是直接看的例题，书中就列出了这个表，也没做什么说明，不过这个表也很直观了，既体现了各种方案，也体现了每个人的收益。

2. 囚徒困境

两名犯罪嫌疑人被分别关在两个牢房里。如果他们都坦白，则每个人将判3年徒刑；如果只有一人坦白，则坦白者被释放并做为对另一个人的证人，另一个人将判4年徒刑；如果两个人都不坦白，则他们两个人都从轻发落只判刑一年。

经常在各种水贴下面看到有人回复囚徒困境，没想到是这样一个有意思的问题。同样书中也给出了解决方案和收益。这里的数字是收益而不是判刑年数，收益=4-判刑年数。

	不坦白	坦白
不坦白	3,3	0,4
坦白	4,0	1,1

3. 鹰鸽博弈

鹰和鸽两类动物进行博弈，鹰会打架直至重伤，鸽遇到冲突就逃跑。现在双方起了冲突，两方是鹰类或者鸽类。分类情况和收益情况是什么样的。

这个问题比前面的要复杂了，看了一段时间，书中应该是把斗争赢了记为4，斗争输了记为1，重伤记为0，不受伤记为3。

	鹰	鸽
鹰	0,0	1,4
鸽	4,1	3,3

4. 拍卖

某物将被移交给集合$\left\{ 1,2,···,n \right\}$中的某一个参与人以换取一定的支付。参与人$i$对某物的估值是$v_i$，且$v_1>v_2>···>v_n>0$。移交某物的机制是现场（密封价格）拍卖：参与人同时提供价格（非负数），该物移交给所有出价最高者中指数最低的参与人，以获得一定效用。

这问题书中没立即给出解决办法，想想也是，一次出价要保证自己的报价最高又不能太高，挺难的。例题看得差不多了，开始往前面翻看看理论部分。

定义

数学来源于生活嘛，把一类事情概括、抽象和研究，从而提供解决一类问题的通用解决方法。往前面翻理论，发现确实对上面一系列问题，来了一个概括与抽象。

战略博弈

战略博弈包括：
参与人集合 $ N $
行动集合 $ A_i,i \in N $
偏好关系$ \succeq i,i \in N $

前面两个好理解，拿听演唱会的例子来看

$ N = \left\{ person1,person2 \right\} $
$ A = \left\{ \left\{ go Bach, go Stravinsky \right\} ,\left\{ go Bach,go Stravinsky \right\} \right\} $

偏好关系是什么就看不懂了，首先这个符号$\succeq$就是第一次见，查了好久在矩阵正定里面用到了，先不去纠结了。反正到这知道了一个战略博弈包含了三部分，可以用

$$ \langle N,A,\succeq i \rangle $$

来表示。

纳什均衡

战略博弈$\langle N,A,\succeq i \rangle$的纳什均衡是一个行动组合$ a^* \in A $，它的性质是：对每一个参与人$ i \in N $有

$$( a_{-i}^{*} , a_{i}^{*} ) \succeq_i (a_{-i}^{*},a_i)$$

对所有的$a_i \in A_i$.