bzoj 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) 莫队算法

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

 

Source

版权所有者：莫涛

 

题解：

 

 莫队算法，其实就是当我们知道了[L, R] 的答案的时候，而且我们可以通过O(1) 查询到 [L-1, R] [L+1, R] [L, R-1] [L, R+1] 的时候，并且可以支持离线的时候。我们就可以改变题目中的询问次序，从而是O(n²) 优化到O(n^1.5) 。

先将查询分成√n 块， 每一块就有 √n 个。将询问的排序，按照左端点所在的大块为第一关键字，有端点为第二关键字。然后按照这个顺序暴力解出答案。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define pb push_back
#define mp make_pair
const int INF = 0x7fffffff;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 50000 + 10;
LL a[maxn], ans_fenzi[maxn], ans_fenmu[maxn], num[maxn], k;
struct node {
    LL l, r, id;
} q[maxn];
bool cmp(node x1, node x2) {
    if(x1.l/k != x2.l/k) {
        return x1.l/k < x2.l/k;
    } else
        return x1.r < x2.r;
}
LL gcd(LL a, LL b) {
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}
void init() {
    ms(num, 0);
    ms(a, 0);
}
void solve() {
    LL n, m;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    for(LL i = 1; i<=n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
    for(LL i = 0; i<m; i++) {
        scanf("%lld%lld", &q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id = i;
    }
    k = (LL)sqrt(n);
    sort(q, q+m, cmp);
    LL L = 1, R = 0;
    LL temp = 0;
    for(LL i = 0; i<m; i++) {
        while (R < q[i].r) {
            R++;
            temp -= (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
            num[a[R]]++;
            temp += (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
        }
        while (R > q[i].r) {
            temp -= (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
            num[a[R]]--;
            temp += (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
            R--;
        }
        while (L < q[i].l) {
            temp -= (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
            num[a[L]]--;
            temp += (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
            L++;
        }
        while (L > q[i].l) {
            L--;
            temp -= (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
            num[a[L]]++;
            temp += (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
        }
        LL fenzi = temp -(R-L+1);
        LL fenmu = (R-L+1)*(R-L);
        LL GCD = gcd(fenzi, fenmu);
        ans_fenzi[q[i].id] = fenzi / GCD;
        ans_fenmu[q[i].id] = fenmu / GCD;
    }
    for(LL i = 0; i<m; i++) {
        printf("%lld/%lld\n", ans_fenzi[i], ans_fenmu[i]);
    }
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//        freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    init();
    solve();
    return 0;
}