最长上升子序列（LIS）动态规划
最长上升子序列
给你n个整数 A1 A2 ········· An 找出在这个数组里面的最长上升的子序列。例如给你（1,7,3,5,9,4,8），他的上升子序列有（1,7） （3,4,8）等等之类的，但是最长的上升子序列是（1,3,5,8）。
1）n^2算法
dp[i] 为当前数组里第i个元素时，以a[i]元素为结尾的最长子序列长度。
动态转移方程是:dp[i] = max ( dp[i] , dp[j] + 1 ) 其中 j<i 且 a[j] < a[i] 。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <string> 6 #include <vector> 7 #include <map> 8 #include <set> 9 #include <queue> 10 #include <sstream> 11 #include <algorithm> 12 using namespace std; 13 #define pb push_back 14 #define mp make_pair 15 #define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a)) 16 //#define LOCAL 17 typedef long long LL; 18 const int inf = 0x3f3f3f3f; 19 const int maxn = 1000+10; 20 const LL mod = 1000000000+7; 21 int a[maxn]; 22 int dp[maxn]; 23 int main() 24 { 25 #ifdef LOCAL 26 freopen("input.txt" , "r", stdin); 27 #endif // LOCAL 28 int n; 29 scanf("%d", &n); 30 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d", &a[i]); 31 dp[0]=1; 32 for(int i=1;i<n;i++) 33 { 34 dp[i] = 1; 35 for(int j=0;j<i;j++) 36 { 37 if(a[j]<a[i] && dp[j]+1 > dp[i]) 38 dp[i] = dp[j] + 1; 39 } 40 } 41 int ans = 0; 42 for(int i=0;i<n;i++) ans = max(ans, dp[i]); 43 printf("%d\n", ans); 44 return 0; 45 }
2）nlogn算法
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <string> 6 #include <vector> 7 #include <map> 8 #include <set> 9 #include <queue> 10 #include <sstream> 11 #include <algorithm> 12 using namespace std; 13 #define pb push_back 14 #define mp make_pair 15 #define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a)) 16 //#define LOCAL 17 typedef long long LL; 18 const int inf = 0x3f3f3f3f; 19 const int maxn = 50000+10; 20 const LL mod = 1000000000+7; 21 int a[maxn]; 22 int dp[maxn]; 23 int Binary_search(int key, int len) 24 { 25 int l=1, r=len+1; 26 while(l<r) 27 { 28 int middle = (l+r) >> 1; 29 if(key>=dp[middle]) 30 l = middle +1; 31 else 32 r = middle; 33 } 34 return l; 35 } 36 int main() 37 { 38 #ifdef LOCAL 39 freopen("input.txt" , "r", stdin); 40 #endif // LOCAL 41 int n, len; 42 scanf("%d", &n); 43 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d", &a[i]); 44 dp[1] = a[0]; 45 len = 1; 46 for(int i=1;i<n;i++) 47 { 48 if(a[i] > dp[len]) 49 dp[++len] = a[i]; 50 else{ 51 int j = Binary_search(a[i], len); 52 dp[j] = a[i]; 53 } 54 } 55 printf("%d\n", len); 56 return 0; 57 }
附上一些练习题：
1）https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1134
2）http://poj.org/problem?id=2533
3）http://poj.org/problem?id=1631
4）http://poj.org/problem?id=1887（最长不上升子序列）
5）http://poj.org/problem?id=1609（最长不上升子序列）
这些题的题解稍后放出。
