矩阵快速幂

最近刷了一下斐波那契数的题，学了一下矩阵快速幂，做一下总结。

 

首先在学矩阵快速幂之前，有一些必须要掌握的知识。

1）矩阵的乘法（详细介绍请参考百度百科）

　　

　　其中的c[i, j]是a矩阵中的第i行与b矩阵中第j列的乘积和。

　　例：

   　　　

　　所以说可以写成是 。

　　用代码实现就是

　　

void mult(int First_Matrix[N][N], int Second_Matrix[N][N])
{
    int Third_Matrix[N][N];
    memset(Third_Matrix, 0, sizeof Third_Matrix);
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<N;j++)
            for(int k=0;k<N;k++)
                Third_Matrix[i][j] += First_Matrix[i][k]*Second_Matrix[k][j];
}

　　

2）快速乘法和快速幂

　　a*b

　　　快速乘法就是用了2进制和乘法分配律。5==（0101）₂ ， 所以7*5 == 7*（0101）₂ ，又可以通过乘法分配律变成 7*（0100+0001）₂ == 7*（4+1）₁₀ 。

　　　　所以就可以通过判断当前位置是不是1位，来判断是否要求和。每一次移动到下一位时，base*2；

　　　　

int qmult(int a, int b)//a*b
{
    int ans = 0;
    int base = a;
    while(b){
        if(b&1)     ans += base;//当前位置是1
        b>>=1;//b向右移动一位
        base <<= 1;//base *= 2;
    }
    return ans;
}

 

　　

　  a^b

　　　快速幂与快速乘法差不多，只是把+换做*。

　　　　7^5==7^（0101）₂ =7^（0100 + 0001）₂ == 7⁴ * 7¹。（不难发现指数是2ⁿ）

　　　　我们就可以得到快速幂的代码

 

int qpow(int a, int b)//a^b
{
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(b)
    {
        if(b&1)     ans *= base;
        b >>=1;
        base = base * base;
    }
    return ans;
}

 

 

 

——————————————————————————————————我是分界线———————————————————————————————————————

 

 

而矩阵快速幂其实就是快速幂的升级版本。把a_数^b 升级成 a_矩阵^b。

struct Matrix
{
    LL c[maxn][maxn];
};//Matrix 矩阵
Matrix mult(Matrix a, Matrix b, int n)//矩阵乘法
{
     Matrix hh={0};
     for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j =0;j<n;j++)
            for(int k = 0;k<n;k++){
                hh.c[i][j] += (a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod;
                hh.c[i][j] %= mod;
            }
    return hh;
}
Matrix qpow_Matrix(Matrix a, int b, int n)
{
    Matrix base = a;
    Matrix ans;
    //初始化ans = 1。
    for(int i =0;i<n;i++)
        for(int j =0;j<n;j++)
            if(i==j)    ans.c[i][j] = 1;
            else ans.c[i][j] = 0;
    //
    while(b){
        if(b&1)     ans = mult(ans, base, n);
        base = mult(base, base, n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

其中的ans初始化：因为在a^b中ans=1，而在矩阵中要使矩阵ans的对角线为1其他的全部为0（i==j时值为1）才能使 ans_矩阵*b_矩阵=b_矩阵。

贴上练习的题目

1）矩阵乘法：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1137

2）矩阵快速幂：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1113

 

一题详细的讲构造矩阵的题目

http://www.cnblogs.com/denghaiquan/p/7231022.html