干货 | 10分钟搞懂branch and bound（分支定界）算法的代码实现附带java代码
Outline
- 前言
- Example-1
- Example-2
- 运行说明
00 前言
前面一篇文章我们讲了branch and bound算法的相关概念。可能大家对精确算法实现的印象大概只有一个，调用求解器进行求解，当然这只是一部分。其实精确算法也好，启发式算法也好，都是独立的算法，可以不依赖求解器进行代码实现的，只要过程符合算法框架即可。
只不过平常看到的大部分是精确算法在各种整数规划模型上的应用，为此难免脱离不了cplex等求解器。这里简单提一下。今天给大家带来的依然是branch and bound算法在整数规划中的应用的代码实现，所以还是会用到部分求解器的。
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01 Example-1
首先来看第一个代码实例，该代码求解的是整数优化的模型，关于branch and bound求解整数规划的具体原理就不再概述了，和上一篇文章差不多但是有所区别。代码文件层次如下：
其中branch and bound算法主要部分在BnB_Guide.java这个文件。ExampleProblem.java内置了三个整数规划模型的实例。调用的是scpsolver这个求解器的wrapper，实际调用的还是lpsolver这个求解器用以求解线性松弛模型。下面着重讲讲BnB_Guide.java这个文件。
public BnB_Guide(int demoProblem){
example = new ExampleProblem(demoProblem);
LinearProgram lp = new LinearProgram();
lp = example.getProblem().getLP();
solver = SolverFactory.newDefault();
double[] solution = solver.solve(lp); // Solution of the initial relaxation problem
int maxElement = getMax(solution); // Index of the maximum non-integer decision variable's value
if(maxElement == -1 ) // We only got integers as values, hence we have an optimal solution
verifyOptimalSolution(solution,lp);
else
this.solveChildProblems(lp, solution, maxElement); // create 2 child problems and solve them
printSolution();
}
该过程是算法主调用过程：
- 首先变量lp保存了整数规划的松弛问题。
- 在调用求解器求解松弛模型以后，判断是否所有决策变量都是整数了，如果是，已经找到最优解。
- 如果不是，根据找出最大的非整数的决策变量，对该变量进行分支，solveChildProblems。
接着是分支子问题的求解过程solveChildProblems如下：
public void solveChildProblems(LinearProgram lp, double[] solution ,int maxElement){
searchDepth++;
LinearProgram lp1 = new LinearProgram(lp);
LinearProgram lp2 = new LinearProgram(lp);
String constr_name = "c" + (lp.getConstraints().size() + 1); // Name of the new constraint
double[] constr_val = new double[lp.getDimension()]; // The variables' values of the new constraint
for(int i=0;i<constr_val.length;i++){ // Populate the table
if(i == maxElement )
constr_val[i] = 1.0;
else
constr_val[i] = 0;
}
//Create 2 child problems: 1. x >= ceil(value), 2. x <= floor(value)
lp1.addConstraint(new LinearBiggerThanEqualsConstraint(constr_val, Math.ceil(solution[maxElement]), constr_name));
lp2.addConstraint(new LinearSmallerThanEqualsConstraint(constr_val, Math.floor(solution[maxElement]), constr_name));
solveProblem(lp1);
solveProblem(lp2);
}
具体的分支过程如下：
- 首先新建两个线性的子问题。
- 两个子问题分别添加需要分支的决策变量新约束：1. x >= ceil(value), 2. x <= floor(value)。
- 一切准备就绪以后，调用solveProblem求解两个子问题。
而solveProblem的实现代码如下：
private void solveProblem(LinearProgram lp) {
double[] sol = solver.solve(lp);
LPSolution lpsol = new LPSolution(sol, lp);
double objVal = lpsol.getObjectiveValue();
if(lp.isMinProblem()) {
if(objVal > MinimizeProblemOptimalSolution) {
System.out.println("cut >>> objVal = "+ objVal);
return;
}
}
else {
if(objVal < MaximizeProblemOptimalSolution) {
System.out.println("cut >>> objVal = "+ objVal);
return;
}
}
System.out.println("non cut >>> objVal = "+ objVal);
int maxElement = this.getMax(sol);
if(maxElement == -1 && lp.isFeasable(sol)){ //We found a solution
solutionFound = true;
verifyOptimalSolution(sol,lp);
}
else if(lp.isFeasable(sol) && !solutionFound) //Search for a solution in the child problems
this.solveChildProblems(lp, sol, maxElement);
}
该过程如下：
- 首先调用求解器求解传入的线性模型。
- 然后实行定界剪支，如果子问题的objVal比当前最优解还要差，则剪掉。
- 如果不剪，则判断是否所有决策变量都是整数以及解是否可行，如果是，找到新的解，更新当前最优解。
- 如果不是，根据找出最大的非整数的决策变量，对该变量再次进行分支，进入solveChildProblems。
从上面的逻辑过程可以看出，solveChildProblems和solveProblem两个之间相互调用，其实这是一种递归。该实现方式进行的就是BFS广度优先搜索的方式遍历搜索树。
02 Example-2
再来看看第二个实例：
input是模型的输入，输入的是一个整数规划的模型。由于输入和建模过程有点繁琐，这里就不多讲了。挑一些重点讲讲具体是分支定界算法是怎么运行的就行。
首先该代码用了stack的作为数据结构，遍历搜索树的方式是DFS即深度优先搜索，我们来看BNBSearch.java这个文件：
public class BNBSearch {
Deque<searchNode> searchStack = new ArrayDeque<searchNode>();
double bestVal = Double.MAX_VALUE;
searchNode currentBest = new searchNode();
IPInstance solveRel = new IPInstance();
Deque<searchNode> visited = new ArrayDeque<searchNode>();
public BNBSearch(IPInstance solveRel) {
this.solveRel = solveRel;
searchNode rootNode = new searchNode();
this.searchStack.push(rootNode);
};
BNBSearch 这个类是branch and bound算法的主要过程，成员变量如下：
- searchStack ：构造和遍历生成树用的，栈结构。
- bestVal：记录当前最优解的值，由于求的最小化问题，一开始设置为正无穷。
- currentBest ：记录当前最优解。
- solveRel ：整数规划模型。
- visited ：记录此前走过的分支，避免重复。
然后在这里展开讲一下searchNode就是构成搜索树的节点是怎么定义的：
public class searchNode {
HashMap<Integer, Integer> partialAssigned = new HashMap<Integer, Integer>();
public searchNode() {
super();
}
public searchNode(searchNode makeCopy) {
for (int test: makeCopy.partialAssigned.keySet()) {
this.partialAssigned.put(test, makeCopy.partialAssigned.get(test));
}
}
}
其实非常简单，partialAssigned 保存的是部分解的结构，就是一个HashMap，key保存的是决策变量，而value对应的是决策变量分支的取值（0-1）。举上节课讲过的例子：
比如：
- 节点1的partialAssigned == { {x3, 1} }。
- 节点2的partialAssigned == { {x3, 0} }。
- 节点3的partialAssigned == { {x3, 1}, {x2, 1} }。
- 节点4的partialAssigned == { {x3, 1}, {x2, 0} }。
- 节点7的partialAssigned == { {x3, 0}, {x1, 1}, {x2, 1}}。
……
想必各位已经明白得不能再明白了。
然后就可以开始BB过程了：
public int solveIP() throws IloException {
while (!this.searchStack.isEmpty()) {
searchNode branchNode = this.searchStack.pop();
boolean isVisited = false;
for (searchNode tempNode: this.visited) {
if (branchNode.partialAssigned.equals(tempNode.partialAssigned)){
isVisited = true;
break;
}
}
if (!isVisited) {
visited.add(new searchNode(branchNode));
double bound = solveRel.solve(branchNode);
if (bound > bestVal || bound == 0) {
//System.out.println(searchStack.size());
}
if (bound < bestVal && bound!=0) {
if (branchNode.partialAssigned.size() == solveRel.numTests) {
//分支到达低端，找到一个满足整数约束的可行解，设置为当前最优解。
//System.out.println("YAY");
this.bestVal = bound;
this.currentBest = branchNode;
}
}
if (bound < bestVal && bound!=0) {
//如果还没到达低端，找一个变量进行分支。
if (branchNode.partialAssigned.size() != solveRel.numTests) {
int varToSplit = getSplitVariable(branchNode);
if (varToSplit != -1) {
searchNode left = new searchNode(branchNode);
searchNode right = new searchNode(branchNode);
left.partialAssigned.put(varToSplit, 0);
right.partialAssigned.put(varToSplit, 1);
this.searchStack.push(left);
this.searchStack.push(right);
}
}
}
}
}
return (int) bestVal;
}
首先从搜索栈里面取出一个节点，判断节点代表的分支是否此前已经走过了，重复的工作就不要做了嘛。
如果没有走过，那么在该节点处进行定界操作，从该节点进入，根据partialAssigned 保存的部分解结构，添加约束，建立松弛模型，调用cplex求解。具体求解过程如下：
public double solve(searchNode node) throws IloException {
try {
cplex = new IloCplex();
cplex.setOut(null);
IloNumVarType [] switcher = new IloNumVarType[2];
switcher[0] = IloNumVarType.Int;
switcher[1] = IloNumVarType.Float;
int flag = 1;
IloNumVar[] testUsed = cplex.numVarArray(numTests, 0, 1, switcher[flag]);
IloNumExpr objectiveFunction = cplex.numExpr();
objectiveFunction = cplex.scalProd(testUsed, costOfTest);
cplex.addMinimize(objectiveFunction);
for (int j = 0; j < numDiseases*numDiseases; j++) {
if (j % numDiseases == j /numDiseases) {
continue;
}
IloNumExpr diffConstraint = cplex.numExpr();
for (int i = 0; i < numTests; i++) {
if (A[i][j/numDiseases] == A[i][j%numDiseases]) {
continue;
}
diffConstraint = cplex.sum(diffConstraint, testUsed[i]);
}
cplex.addGe(diffConstraint, 1);
diffConstraint = cplex.numExpr();
}
for (int test: node.partialAssigned.keySet()) {
cplex.addEq(testUsed[test], node.partialAssigned.get(test));
}
//System.out.println(cplex.getModel());
if(cplex.solve()) {
double objectiveValue = (cplex.getObjValue());
for (int i = 0; i < numTests; i ++) {
if (cplex.getValue(testUsed[i]) == 0) {
node.partialAssigned.put(i, 0);
}
else if (cplex.getValue(testUsed[i]) == 1) {
node.partialAssigned.put(i, 1);
}
}
//System.out.println("LOL"+node.partialAssigned.size());
return objectiveValue;
}
}
catch(IloException e) {
System.out.println("Error " + e);
}
return 0;
}
中间一大堆建模过程就不多讲了，具体分支约束是这一句：
for (int test: node.partialAssigned.keySet()) {
cplex.addEq(testUsed[test], node.partialAssigned.get(test));
}
此后，求解完毕后，把得到整数解的决策变量放进partialAssigned，不是整数后续操作。然后返回目标值。
然后依旧回到solveIP里面，在进行求解以后，得到目标值，接下来就是定界操作了：
- if (bound > bestVal || bound == 0)：剪支。
- if (bound < bestVal && bound!=0)：判断是否所有决策变量都为整数，如果是，找到一个可行解，更新当前最优解。如果不是，找一个小数的决策变量入栈，等待后续分支。
03 运行说明
Example-1：
运行说明，运行输入参数1到3中的数字表示各个不同的模型，需要在32位JDK环境下才能运行，不然会报nullPointer的错误，这是那份求解器wrapper的锅。怎么设置参数参考cplexTSP那篇，怎么设置JDK环境就不多说了。
然后需要把代码文件夹下的几个jar包给添加进去，再把lpsolve的dll给放到native library里面，具体做法还是参照cplexTSP那篇，重复的内容我就不多说了。
Example-2：
最后是运行说明：该实例运行调用了cplex求解器，所以需要配置cplex环境才能运行，具体怎么配置看之前的教程。JDK环境要求64位，无参数输入。
代码来源GitHub，经过部分修改。
