POJ1067 取石子游戏
题目来源：http://poj.org/problem?id=1067
题目大意：
有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。
输入：输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。
输出：输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。
Sample Input
2 1 8 4 4 7
Sample Output
0 1 0
本题背景是威佐夫博奕（Wythoff Game）。相关定理Beatty定理。
这里给出了一个试玩的小应用，可以帮助理解一下游戏的过程和策略，里面用一个二维坐标代表一个局势，横纵坐标分别表示一堆石子的个数，整个坐标系（轴正向）则包括了所有可能的局势。
找规律的方法：
用(ak, bk)来表示一个局势，k = 0, 1, 2, 3... ak按升序排。由于两堆石子的地位是等价的，所以我们在这里只考虑 ak <= bk . 如果玩家现在遇到的是(0, 0) 则表示已经输掉了，也就是说(0, 0) 是一个必败局势。分析知道前几个必败局势是：(0, 0)、(1, 2)、(3, 5)、(4, 7)、(6, 10)、(8, 13)、(9, 15)、(11, 18)、(12, 20).
上面的序列有这样的规律：
a0 = b0 = 0;
ak 是尚未出现的最小自然数，bk = ak + k.
实际上上面的规律是有依据的，看图：
上图表示的是找必败局的过程，排除(0, 0), 所有(0, k) (k, 0) (k, k) （即横轴、纵轴和“斜轴”上的所有点）都是可胜局，将它们从坐标系中划去。（A中的黑线。）这时候最接近(0, 0) 的(1, 2) 和 (2, 1) 是必败局。然后我们可以考虑以(1, 2)和(2, 1)为原点分别建立坐标轴，把位于两坐标轴横轴、纵轴和斜轴上的点都划去，因为由这些点都可以到达一个必败局，也就是说它们都是可胜局。这样之后找到下一个必败局(3, 6)， (6, 3). 一直这样做下去，就可以找出所有的必败局, 显然局势应该是对于y=x对称的。在找规律时我们只考虑ak <= bk 即 y = x 上方的点。
通过上面的找必败局过程我们可以归纳出其中的规律了。
结论1：a[k+1]是前面没有出现过的最小自然数。（划着划着就会发现确实是这样的==b. 划横轴和纵轴造成的）
结论2：bk = ak + k。(划着划着会发现也确实是这样的...划斜轴造成的...所以多划一划吧...)
由必败局的规律得出其性质：
1. 任何自然数恰好在所有必败局势中出现一次。（除0 在 (0, 0) 里出现两次）。
2. 任何合法操作都将必败局变为非必败局。因为：如果从一堆石子中取出若干，剩下的一堆石子数目不会再出现在必败局中；如果从两堆石子中同时取，那么石子数目差不变，而bk - ak = k，故不存在两个差相等的比败局。
3. 非必败局到比败局在一步内是可达的。因为非必败局都是从某个必败局出发划出来的嘛。
有了以上三条性质，可知，先拿者若遇必败局则必败，遇非必败局则必可胜。
接下来任给一个局势(a, b)，判断其是否是必败局的方法：
先上Beatty定理（Beatty Sequence）：
若
, 使得
。
定义集（贝亚蒂列）：
。
则 P 和 Q 构成正整数的一个分划。
恰好我们问题里的ak和bk就是Beatty序列。（详细参考这里：理论证明）
，有
解方程
， 求得
(黄金分割率)。 于是就得到了序列的通项公式。然后验证a、b是否符合该通项公式即可。
1 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 // POJ1067 Wythoff's Game 3 // Memory: 248K Time : 16MS 4 // Language : C++ Result : Accepted 5 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////// 6 7 #include <iostream> 8 9 using namespace std; 10 11 #define ALPHA 1.61803398875 12 13 int main(void) { 14 int a, b, k; 15 // 公式 ak = [k（1 + √5） / 2]，bk = ak + k 16 while (cin >> a >> b) { 17 if (a > b) { 18 k = b; 19 b = a; 20 a = k; 21 } 22 k = b - a; 23 if (a == (int)(k * ALPHA)) { 24 cout << 0 << endl; 25 } else { 26 cout << 1 << endl; 27 } 28 } 29 return 0; 30 }
参考：
http://bbs.byr.cn/#!article/ACM_ICPC/32595
