POJ1039 Pipe
题目来源:http://poj.org/problem?id=1039
题目大意:
有一条宽度为1(指的是上下管壁纵坐标之差,不是管道真实的宽度)的折线形管道,管道壁不透光不反光,求从管道一头射入一束光线,光线在管道内沿直线传播最远能传播多远(横坐标能到达的最大值)。如图所示:
输入:每个测试用例一个数据块,第一个整数为折点数(2到20之间),接下来每行一个折点坐标(即上图中的一个点[x,y],x互不相等,按增序排列),表示管道的上边界折点,对应的下边界折点为[x,y-1].折点数位0时表示输入结束。
输出:每次用例输出一行,若光线能穿透整个管道,输出Through all the pipe.否则输出能到达的x值,保留两位小数。
Sample Input
4 0 1 2 2 4 1 6 4 6 0 1 2 -0.6 5 -4.45 7 -5.57 12 -10.8 17 -16.55 0
Sample Output
4.67 Through all the pipe.
本题属于计算几何。其实的数学基础只需要于中学解析几何的水准就可以解决了吧。
首先,分析可以发现,能照到最远的x的光线应该是经过一个上管壁折点和一个下管壁折点的。当光线可以穿透全管时,总可以把光线平移或旋转至经过一个上管壁折点和一个下管壁折点,光线不能穿透全管时,若某光线不满足上面的条件,通过旋转和平移,一定能够使得x继续向右延伸。
所以只需要遍历由一个上壁折点和一个下壁折点确定的直线,查找x可到达的最大值即可。(如果只有一段管道,显然可以穿过,不再计算。)
求一条直线能到达的最大x值使用的方法是:
首先,判断这条直线与管道入口截面的交点是否在入口范围内,如不在,则说明从入口处不可能发射出这条直线,淘汰之。
否则,从分别考虑每一段管道,光线通过的情况。接下来实际上就是模拟了。
若直线与这段管道右截面的交点在出口范围内,则这段管道可以被穿透,进入下一段管道;否则,直线一定在管道内与管道壁相交,交点的x值即该条直线能到达的最大x值。
若直线斜率k大于管道斜率kb,则交点在上管壁,求直线与上管壁交点的横坐标。否则,求直线与下管壁交点的横坐标。平行的情况以及被前面的特例处理过了,这里不需再考虑。
由于这道题里的折点x坐标是递增的,各不相等,所以不会出现斜率不存在的情况,所以用直线的斜截式表示比较方便。
因为用的是double类型,精度问题需要注意一下,小菜在这个问题上被折磨的死去活来的..T_T.开始自己写的一个方法,思想和这个是一样的,只是在相交判断等细节上稍有不同的处理,就怎么也过不了,后来选择了浮点乘除运算稍微少一点的方法,开始把代码里的eps设为1e-3提交WA,改为1e-4才通过,果然计算几何什么的好多细节的东西要注意啊。
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1 //////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 // POJ1039 Pipe 3 // Memory: 168K Time: 32MS 4 // Language: C++ Result: Accepted 5 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 6 7 #include <cstdio> 8 #include<cmath> 9 10 using namespace std; 11 12 int cnt; 13 double node[20][2]; 14 double k; //斜率 15 double b; //截距 16 double xmax; 17 18 //精度控制 19 inline int cmp(const double & p) { 20 if (fabs(p) < 1e-4) 21 return 0; 22 return p > 0 ? 1 : -1; 23 } 24 25 //由两点确定直线方程 26 void makeLine(double x1, double y1, double x2, double y2) { 27 double a0 = y2 - y1; 28 double b0 = x1 - x2; 29 double c0 = x2 * y1 - y2 * x1; 30 k = -1 * a0 / b0; 31 b = -1 * c0 / b0; 32 } 33 34 //求直线与管壁交点的x值 35 double intersect(double x1, double y1, double x2, double y2) { 36 return (x1 * (y2 - y1) + (x2 - x1) * (b - y1)) / (y2 - y1 - k * (x2 - x1)); 37 } 38 39 double check() { 40 double y0 = k * node[0][0] + b; 41 //不可能从入口发出这道光线 42 if (cmp(y0 - node[0][1]) > 0 || cmp(y0 - node[0][1] + 1) < 0) { 43 return node[0][0]; 44 } 45 double ans = node[cnt - 1][0]; 46 for (int i = 0; i < cnt - 1; ++i) { 47 double y1 = k * node[i + 1][0] + b; 48 //可以穿过这段管道 49 if (cmp(y1- node[i + 1][1] + 1) >= 0 && cmp(y1 - node[i + 1][1]) <= 0) { 50 continue; 51 } 52 //管道斜率 53 double kb = (node[i + 1][1] - node[i][1]) / (node[i + 1][0] - node[i][0]); 54 int dk = cmp(k - kb); 55 if (dk > 0) { 56 //与上管壁交点 57 return intersect(node[i][0], node[i][1], node[i + 1][0], node[i + 1][1]); 58 } else { 59 //与下管壁交点 60 return intersect(node[i][0], node[i][1] - 1, node[i + 1][0], node[i + 1][1] - 1); 61 } 62 } 63 return ans; 64 } 65 66 int main(void) { 67 while (true) { 68 scanf("%d", &cnt); 69 if (cnt == 0) { 70 break; 71 } 72 for (int i = 0; i < cnt; ++i) { 73 scanf("%lf%lf", &node[i][0], &node[i][1]); 74 } 75 if (cnt == 2) { 76 //只有一段管道,一定可以穿过,不用再计算 77 printf("Through all the pipe.\n"); 78 continue; 79 } 80 xmax = node[1][0]; 81 for (int i = 0; i < cnt - 1; ++i) { 82 for (int j = i + 1; j < cnt; ++j) { 83 //第i个上顶点与第j个下顶点组成直线 84 makeLine(node[i][0], node[i][1], node[j][0], node[j][1] - 1); 85 double now = check(); 86 if (now > xmax) xmax = now; 87 //第i个下顶点与第j个上顶点组成直线 88 makeLine(node[i][0], node[i][1] - 1, node[j][0], node[j][1]); 89 now = check(); 90 if (now > xmax) xmax = now; 91 } 92 } 93 if (cmp(xmax - node[cnt - 1][0]) == 0) { 94 printf("Through all the pipe.\n"); 95 } else { 96 printf("%.2lf\n", xmax); 97 } 98 } 99 return 0; 100 }