【总结】2022GDOI普及组试题与题解（缺两天的T4）

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2022 广东省选普及组 GDOI

试题

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Day1题解

T1 邹忌讽齐王纳谏

打卡题，建议模拟

建议使用map,时间复杂度为$O(nlogn)$

特判注意数据——

$$0\le A,B,C$$

需要特判为0的情况

T2 数列游戏

首先求出前缀异或和，$su{m}_1,su{m}_2,su{m}_3,.....su{m}_n$，

如果一个区间$[l,r]$异或和为0，那么$su{m}_r\oplus su{m}_{l-1}=0$

移项得$su{m}_r=su{m}_{l-1}$

特别注意——如果$su{m}_x=0$，那就已经可以筛掉$x$了

因此问题是在这些前缀异或和求有多少个不为0的不同的数

T3 流水线

堆优化贪心，一开始$m=1$(在1上)
随$m$的变大，每次往下加入节点，让$max(w_1,w_2,···,w_m)$尽可能小，
求出过程中的最小值就是答案
也可以使用二分，线段树
这个正确性十分显然

T4 小学生计数题

枚举数字和公差的做法可以拿到60分

蒟蒻也不会，求讲解

大概是求出一整条链，在当中取部分的方案数，使用前缀积+区间逆元解决

希望有犇犇在评论区补充

Day2题解

T1点指兵兵

我们设有$x$个物品，那么最后会指到$nmodx$

根据题意，我们不能让$n\equiv 0,1,2(modx)$

根据同余的可减性，我们得到

$$\begin{gathered} n\equiv 0(modx) \\ n-1\equiv 0(modx) \\ n-2\equiv 0(modx) \end{gathered}$$

现在很明显了，如果不想让$n\equiv 0,1,2(modx)$，那这个$x$不是$n,n-1,n-2$的因子

我们可以用$O(\sqrt{n})$的复杂度求出三者的因子数量

根据同余性质，是不可能出现重复的，不需要容斥，直接区间-部分即可

$$ans=n-3+1-n\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{数}\mathrm{量}-(n-1)\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{数}\mathrm{量}-(n-2)\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{数}\mathrm{量}$$

T2网页浏览

首先不需要返回操作，替换+返回=新建+删除，后者操作性更强

然后，对于一棵树，最优显然是前几个儿子新建，最后一个儿子替换

因为一个网页只有一个父亲，在所有儿子被访问之前，爸爸不能死

但最后一个儿子被访问后，爸爸就可有可无了，这时候使用替换步数更少

对于下面的叶子结点，除了访问，还要删除

---

我们不难得出一个结论，$answer=n+LeavesNumber$,

$LeavesNumber$是叶子节点的个数

因为使用上述方案，每个结点恰好被访问一次，有儿子的节点被最后一个儿子替换，而叶子节点还需要删除自己

所以就是上面的式子了

T3 教室的电子钟

思路非常简单，做法很多，但题目很恶心

最好的做法是六十行的前缀和做法

记录0年1月1日0时0分0秒到$x$年$y$月$z$日$a$时$b$分$c$秒一共消耗了多少单位的电为$A$

记录0年1月1日0时0分0秒到$x^{\prime }$年$y^{\prime }$月$z^{\prime }$日$a^{\prime }$时$b^{\prime }$分$c^{\prime }$秒一共消耗了多少单位的电为$B$

$$ans=B-A$$

比本蒟蒻近300行对错未知的做法好多了

T4 机器人

正解是迪杰斯特拉最短路，蒟蒻没听懂

蒟蒻利用一个三维DP得到了大概50分（成绩没出）