【总结】2022GDOI普及组试题与题解（缺两天的T4）

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2022 广东省选普及组 GDOI

试题

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Day1题解

T1 邹忌讽齐王纳谏

打卡题，建议模拟

建议使用map,时间复杂度为\(O(nlogn)\)

特判注意数据——

\[0 \leq A,B,C \]

需要特判为0的情况

T2 数列游戏

首先求出前缀异或和，\(sum_1,sum_2,sum_3,.....sum_n\)，

如果一个区间\([l,r]\)异或和为0，那么\(sum_r⊕sum_{l-1}=0\)

移项得\(sum_r=sum_{l-1}\)

特别注意——如果\(sum_x=0\)，那就已经可以筛掉\(x\)了

因此问题是在这些前缀异或和求有多少个不为0的不同的数

T3 流水线

堆优化贪心，一开始\(m=1\)(在1上)
随\(m\)的变大，每次往下加入节点，让\(max(w_1, w_2, · · · , w_m)\)尽可能小，
求出过程中的最小值就是答案
也可以使用二分，线段树
这个正确性十分显然

T4 小学生计数题

枚举数字和公差的做法可以拿到60分

蒟蒻也不会，求讲解

大概是求出一整条链，在当中取部分的方案数，使用前缀积+区间逆元解决

希望有犇犇在评论区补充

Day2题解

T1点指兵兵

我们设有\(x\)个物品，那么最后会指到\(n\;mod\;x\)

根据题意，我们不能让\(n\equiv0,1,2(mod\;x)\)

根据同余的可减性，我们得到

\[n\equiv0(mod\; x)\\ n-1\equiv0(mod\; x)\\ n-2\equiv0(mod\; x)\\ \]

现在很明显了，如果不想让\(n\equiv0,1,2(mod\;x)\)，那这个\(x\)不是\(n,n-1,n-2\)的因子

我们可以用\(O(\sqrt{n})\)的复杂度求出三者的因子数量

根据同余性质，是不可能出现重复的，不需要容斥，直接区间-部分即可

\[ans=n-3+1-n的因子数量-(n-1)的因子数量-(n-2)的因子数量 \]

T2网页浏览

首先不需要返回操作，替换+返回=新建+删除，后者操作性更强

然后，对于一棵树，最优显然是前几个儿子新建，最后一个儿子替换

因为一个网页只有一个父亲，在所有儿子被访问之前，爸爸不能死

但最后一个儿子被访问后，爸爸就可有可无了，这时候使用替换步数更少

对于下面的叶子结点，除了访问，还要删除

---

我们不难得出一个结论，\(answer=n+Leaves\;Number\),

\(Leaves\;Number\)是叶子节点的个数

因为使用上述方案，每个结点恰好被访问一次，有儿子的节点被最后一个儿子替换，而叶子节点还需要删除自己

所以就是上面的式子了

T3 教室的电子钟

思路非常简单，做法很多，但题目很恶心

最好的做法是六十行的前缀和做法

记录0年1月1日0时0分0秒到\(x\)年\(y\)月\(z\)日\(a\)时\(b\)分\(c\)秒一共消耗了多少单位的电为\(A\)

记录0年1月1日0时0分0秒到\(x’\)年\(y’\)月\(z’\)日\(a’\)时\(b’\)分\(c'\)秒一共消耗了多少单位的电为\(B\)

\[ ans=B-A \]

比本蒟蒻近300行对错未知的做法好多了

T4 机器人

正解是迪杰斯特拉最短路，蒟蒻没听懂

蒟蒻利用一个三维DP得到了大概50分（成绩没出）