[LOJ 6030]「雅礼集训 2017 Day1」矩阵 题解

首先不难想到一个贪心，就是先填出一个全黑的行，然后再用其填黑列。

而且在其中“填出一个全黑的行步数”我们应该最小化。

这个贪心的正确性证明如下：

必要性：填黑列的必要条件为有一个全黑的行。

充分性：“填黑列的步数”就是“非全黑列的数量”。

显然，如果填出一个全黑的行的过程中有列变成了全黑，那么这个行也是全黑，这与全黑行不存在矛盾。

进一步地，无论如何去生成一个全黑的行，“全黑列的数量”始终不改变，因此“填黑列的步数”不改变。

因此最小化答案就是最小化“填出一个全黑的行步数”。

综上所述，我们的贪心策略是最优的。

我们也可以扩展结论：

无解的情况当且仅当不存在黑点。

否则，这个黑点一定可以填出一个全黑行，策略是先覆盖其他所有列，再覆盖自身。

那么如何最小化“填出一个全黑的行步数”呢？我们发现关键所在是白点，我们可以进行操作填黑它。

我们设对应的操作为 $(x,y)$,白点为 $(a,y)$,则 $(x,a)$ 为黑。

• 若存在 $(x,a)$ 为黑，则只需要一步。

• 否则，我们先进行一个操作染黑 $(x,a)$，设操作为 $(b,a)$,则黑点为 $(b,x)$，此时，$(b,x)$已经可以是任意黑点，而且我们只需要操作一次就可以染黑需要的$(x,a)$，所以是最优的。

到此，贪心就没有问题了。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL N=3005;
const LL inf=1e18;
LL n,a[N],b[N],cnt,mn=inf,hav[N],sum;
char c[N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",c+1);//数据有误，请务必这样读入
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{		
			if(c[j]=='#')a[i]++,b[j]++,sum++;
		}
	}
	if(sum==0)
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		mn=min(mn,n-a[i]+(b[i]==0));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(b[i]!=n)cnt++;
	}
	cout<<mn+cnt<<endl;
	return 0;
}