拉格朗日插值学习笔记

这个算法的用途是，给出 $n$ 个点，第$i$个点为$(x_i,y_i)$，它可以找出一个 $n-1$ 次的多项式$f(x)$，以便求出$x$值为其他情况。

当然也是可以用来整活的，可以构造一些奇奇怪怪的多项式坑人。

首先这个多项式存在是显然的，然后我们求它的方式是一个构造。

我们考虑跟中国剩余定理一个思路，对于$x_i$，我们考虑其他的项都消成 $0$,只有一项为$y_i$，就构造出来了。

那么，我们不难想象出一个函数$f_i(x)$来处理$x_i$的影响：

$$f_i(x)=y_i\prod _{i\ne j}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

对于其他的$x_j$，这一项一定可以消成 $0$,而对于$x=x_i$，则式子刚好为$y_i$，也就符合了条件。

于是我们构造出：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i(x)$$

我们就可以求解了，时间复杂度为$O(n^2)$，核心实现如下。

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cnt1=1,cnt2=1;
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		if(i==j)continue;
		cnt1=cnt1*(k-x[j])%mod; 
		cnt2=cnt2*(x[i]-x[j])%mod;
	} 
	ans=(ans+y[i]*cnt1%mod*ksm(cnt2,mod-2)%mod+mod)%mod;
}