2021牛客OI赛前集训营-提高组（第三场） 第二题 交替 题解与结论证明

题目描述

一个长度为 \(n\) 的数组\(A\)，每秒都会变成一个长度为 \(n − 1\) 新数组 \(A'\)，其变化规
则如下：

1. 若当前数组 \(A\) 的长度 \(n\) 为偶数，则对于新数组 \(A'\) 的每一个位置 \(i(1 ≤ i < n)\)来说，\(A'[i]=A[i]+A[i+1]\)

2. 若当前数组 \(A\) 的长度 \(n\) 为奇数，则对于新数组 \(A'\) 的每一个位置 \(i(1 ≤ i < n)\)来说，\(A'[i]=A[i]-A[i+1]\)

最终数组经过 \(n − 1\) 秒的时间变成一个数字。求这个数字对 \(10^9 + 7\)取模后的结果。

输入格式

第一行输入一个正整数\(n\)，表示数组的长度。
接下来每行输入\(n\)个正整数，表示数组中的每一个元素。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例

输入样例1

3
1 6 8

输出样例1

1000000000

样例解释1

第一秒的时候进行第二种变化，即 \(A\)数组由 \([1, 6, 8]\) 变为\([-5, -2]\)，然后第二秒的时候，由于此时数组长度为 \(2\)，所以进行第一种变化，即数组变为 \([-7]\)，最终输出这个数字对\(10^9 + 7\)取模后的结果，所以输出 \(1000000000\)。

数据范围

对于 \(40\%\) 的数据，满足 \(n ≤ 1000\)。
对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 ≤ n ≤ 10^5，1 ≤ ai ≤ 10^9\)。

题目简化

对于一个长度为\(n\)的数组\(A\)，反复进行以下操作，直到\(n=1\)。

• 如果\(n\equiv 0\pmod 2\),则\(A_i\gets A_i+A_{i+1}\)
• 如果\(n\equiv 1\pmod 2\),则\(A_i\gets A_i-A_{i+1}\)
• \(n\gets n-1\)

最后输出 \(A_1\)

题解

这道题我用的是打表找规律，先来看看奇数。

当 \(n=1\) 时，得

\[A_1 \]

当 \(n=3\) 时，得

\[A_1,A_2,A_3\\ A_1-A_2,A_2-A_3\\ A_1-A_3 \]

当 \(n=5\) 时，得

\[A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\\ A_1-A_2,A_2-A_3,A_3-A_4\\ A_1-A_3,A_2-A_4,A_3-A_5\\ A_1-A_2-A_3+A_4,A_2-A_3-A_4+A_5\\ A_1-2\times A_3+A_5 \]

这时候我们初步发现规律，再来一组？当\(n=7\)时，得

\[A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7\\ A_1-A_2,A_2-A_3,A_3-A_4,A_4-A_5,A_5-A_6,A_6-A_7\\ A_1-A_3,A_2-A_4,A_3-A_5,A_4-A_6,A_5-A_7\\ A_1-A_2-A_3+A_4,A_2-A_3-A_4+A_5,A_3-A_4-A_5+A_6,A_4-A_5-A_6+A_7\\ A_1-2\times A_3+A_5,A_2-2\times A_4+A_6,A_3-2\times A_5+A_7\\ A_1-A_2-2\times A_3+2\times A_4+A_5-A_6,A_2-A_3-2\times A_4+2\times A_5+A_6-A_7\\ A_1-3\times A_3+3\times A_5-A_7 \]

观察系数，列出一个表格：

\[1\\ 1,-1\\ 1,-2,1\\ 1,-3,3,-1\\ \]

从数字来看：杨辉三角，从符号来看：奇正偶负。

用式子来表达规律：\(ans=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{i+1}C_k^{\frac {i+1} 2 }A_i\)且\(i\equiv1\pmod 2\)

偶数可以暴力转换为奇数，最终预处理之后就可以 \(O(n)\)完成。

打表找规律是信息学竞赛的一种常见手段，非常好用，建议多多使用。

证明

接下来是严谨的证明,使用数学归纳法。

打表已知前几项符合我们的假设，接下来我们假设对于长度小于等于 \(x-2\) 且为奇数的数组全部符合这一设想。

对于一个长度为\(x\)的数组，我们进行运算。

\[A_1,A_2,...,A_x\\ A_1-A_2,A_2-A_3,...,A_{x-1}-A_x\\ A_1-A_3,A_2-A_4,...,A_{x-2}-A_x\\ \]

由于长度小于等于 \(x-2\) 且为奇数的数组全部符合这一设想，所以设\(k=\frac {x-3} 2\)，则原式可写成：

\[C_k^0(A_1-A_3)-C_k^1(A_3-A_5)+...-C_k^k(A_{x-2}-A_x) \]

那么对于一个奇数\(i\),\(A_i\)会在哪里出现呢？显然是\(C_k^{\frac {i-1} 2 } (A_i-A_{i+2})\)和 \(C_k^{\frac {i+1} 2 } (A_{i+2}-A_{i+4})\)

\(A_i\)的系数为\((-1)^{i+1}(C_k^{\frac {i-1} 2 }+C_k^{\frac {i+1} 2 } )=(-1)^{i+1}C_{k+1}^{\frac {i+1} 2 }\)，由此，证明完毕。

代码

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
long long n,a[100005],inv[100005],fac[100005],ans;
long long C(long long n,long long m)
{
	if(n<m)return 0;
	if(n==m||m==0)return 1;
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
long long ksm(long long x,long long y)
{
	long long ans=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod; 
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=100000;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[100000]=ksm(fac[100000],mod-2);
	for(int i=99999;i>=1;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	if(n%2==0)
	{
		for(int i=1;i<n;i++)a[i]=(a[i]+a[i+1])%mod;
		n--;
	}
	long long k=(n-1)/2,t=1;
	for(int i=1;i<=n;i+=2)
		ans=((ans+t*C(k,(i+1)/2-1)%mod*a[i]%mod)%mod+mod)%mod;
		t*=-1;
	}
	printf("%lld",ans); 
}