【题解】分特产

题面描述

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。
JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？
当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。
例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的
分配方法：
A：麻花，B：麻花、包子
A：麻花、麻花，B：包子
A：包子，B：麻花、麻花
A：麻花、包子，B：麻花

球同盒异可为空模型

这是一个比较经典的模型了，解法非常巧妙，也就是大名鼎鼎的

\[C_{n+m-1}^{m-1} \]

知道的大佬可以跳过了，现在简单讲一下

因为球同，所以使用插板法，但是盒又可以空，两个板总要有什么隔着，所以现在每个盒子放一个球

球同盒异不可为空的插板公式为

\[C_{n-1}^{m-1} \]

在箱子放了\(m\)个球，所以是

\[C_{n+m-1}^{m-1} \]

本题思路

因为本题球有同有异,所以没有公式可以套，但如果将强制\(x\)人无法选择变成至少\(x\)人，就相对简单了

那好,至少\(x\)人,如何求解？

首先，将这\(x\)人的组合可能求出来：

\[C_n^x \]

对于每种特产的分配，都是球同盒异可为空模型，所以是

\[\Pi_{i=1}^{m}C_{a_i+n-x-1}^{n-x-1} \]

所以对于至少\(x\)人无法选择

\[ans=\Pi_{i=1}^{m}C_{a_i+n-x-1}^{n-x-1} \]

设至少\(x\)人无法选择的方案数为\(f_x\),如何求强制\(x\)人无法选择？

根据容斥原理，得

\[ans=f_0-f_1+f_2..... \]

\[ans=\sum_{i=0}^{n}{(-1)}^nf_i \]

End

P.S.：数据很水，组合数请使用杨辉三角