连续随机变量的函数的分布

已知:

• 连续随机变量\(X\)的pdf为\(f_X(x)\)
• \(Y = g(X)\), 其中\(g(x)\)有单调性

求: \(f_Y(y)\)

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\[P(Y \le y)= P(g(x) \le y) \]

若\(g\)单调递增:

\[P(Y \le y)= P(g(x) \le y) = P(x \le g^{-1}(y)) \]

\[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \frac {dx}{dy} \]

若\(g\)单调递减:

\[P(Y \le y)= P(g(x) \le y) = P(x \ge g^{-1}(y)) = 1 - P(x \le g^{-1}(y)) \]

\[f_Y(y) = -f_X(g^{-1}(y)) \frac {dx}{dy} \]

当\(g\)单调递增时, \(\frac {dx}{dy} > 0\); 当\(g\)单调递减时, $ - \frac {dx}{dy} > 0$, 所以写到一起:

\[f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |\frac {dx}{dy}| = f_X(g^{-1}(y)) |g^{-1'}(y)| \]

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计算的关键是由不等式$g(X) < y$得到一个形如$X < or > g^{-1}(y)$的不等式, 可在很多情况下这个过程很困难, 例如$Y = X^3 + X$时.