Dirac Delta Function

也称为Degenerate pdf, 退化概率密度函数. 未经考证的解释是: 当正态分布的\(\sigma \to 0\)时, 正态分布就退化为这个分布了.

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# 定义 $$ \delta(x) = \begin{cases} 0, x \neq 0 \\ \infty, x = 0 \end{cases} $$ 因为是由正态分布退化而来的概率密度函数: $$ \int _{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1 $$ (不知道如何严格的证明) # Sifting Property (TODO, 译为筛选性质?) $$ \int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = f(\mu) $$ 证明如下: 令$t = x - \mu, x = t + \mu$, 得: $$ \int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x - \mu) dx = \int _{-\infty}^{+\infty} f(t + \mu)\delta(t) dt = \int _{-\epsilon}^{+\epsilon} f(t + \mu)\delta(t) dt = f(\mu)\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = f(\mu) $$ 其中, $\epsilon \to^+ 0$. 看来, $f(x)$还得在$(-\epsilon, +\epsilon)$邻域内连续.