面试编程题拾遗（04） --- 上楼梯有多少种方式

题目：一个小孩上一个N级台阶的楼梯，他可以一次走1阶、2阶或3阶，那么走完N阶有多少种方式。

很自然的想法是使用递归：

public class Test04 {  
  
    public static int countWays(int n) {  
        if(n < 0) {  
            return 0;  
        }  
        else if(n == 0) {  
            return 1;  
        }  
        else {  
            return countWays(n - 1) + countWays(n - 2) + countWays(n - 3);  
        }  
    }  
      
    public static void main(String[] args) {  
        System.out.println(countWays(5));   // 13  
        // 11111, 1112, 1121, 1211, 122, 131, 113, 23, 221, 2111, 212, 32, 311  
    }  
}  

然而，这里的递归是一个头递归，也就是说要先递归再回溯（编译器无法将其优化为一个循环结构），而且是将三个递归的结果进行合并，这样的话算法的运行时间呈指数增长（渐近时间复杂度为O(3^N)）。可以利用动态规划的思想对递归进行优化，其代码如下所示：

public class Test04 {  
  
    public static int countWaysDP(int n) {  
        int[] map = new int[n + 1];  
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {  
            map[i] = -1;  
        }  
        return countWaysDP(n, map);  
    }  
  
    private static int countWaysDP(int n, int[] map) {  
        if (n < 0) {  
            return 0;  
        }  
        else if (n == 0) {  
            return 1;  
        }  
        else if (map[n] > -1) {  
            return map[n];  
        }  
        else {  
            map[n] = countWaysDP(n - 1, map) + countWaysDP(n - 2, map)  
                    + countWaysDP(n - 3, map);  
            return map[n];  
        }  
    }  
      
    public static void main(String[] args) {  
        System.out.println(countWaysDP(5)); // 13  
        // 11111, 1112, 1121, 1211, 122, 131, 113, 23, 221, 2111, 212, 32, 311  
    }  
  
}