最长公共上升子序列

题目概述：给定两个序列，求解它们的最长公共上升子序列
解题思路：
集合定义：f[i][j]:所有a[1...i]中和b[1...j]中以b[j]结尾的最长上升子序列的长度。
集合划分：不包含a[i]：等价于所有a[1...i - 1]中和b[1...j]中以b[j]结尾的最长上升子序列的长度，即f[i][j] = f[i - 1][j];
包含ai:由集合定义可知，此时若成立，则a[i] = b[j].再根据倒数第二个数是以哪个数结尾进行再次划分，即
f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][k]),k = 1,2,3...j-1.

暴力版$O(n^3)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 3010;

int f[N][N];//f[i][j]表示a[1..i]中和b[1...j]中以b[j]结尾的最长上升公共子序列(也可以以a[i]结尾)
int a[N],b[N];
int n;

int main(){
    
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d",&b[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n;  i++)
        for(int j = 1; j <= n; j ++){
            //不包含a[i]
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j]);
            //包含a[i]，前提a[i] == b[j]
            if(a[i] == b[j]){
                int maxv = 1;
                //根据倒数第二个数继续划分
                for(int k = 1; k < j; k ++){
                    //保证是上升子序列
                    if(b[k] < b[j])
                        maxv = max(maxv,f[i][k] + 1);
                }
                f[i][j] = max(f[i][j],maxv);
            }
        }
        
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)res = max(res,f[n][i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

由于每次在再次划分时，都会存在大量重复枚举，可以对这部分进行优化，维护一个前缀最大值。

优化版$O(n^2)$

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 3010;

int f[N][N];//f[i][j]表示a[1..i]中和b[1...j]中以b[j]结尾的最长上升公共子序列(也可以以a[i]结尾)
int a[N],b[N];
int n;

int main(){
    
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)scanf("%d",&b[i]);
    
    for(int i = 1; i <= n;  i++){
        int maxv = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j ++){
            //不包含a[i]
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j]);
            //包含a[i]，前提a[i] == b[j]
            if(a[i] == b[j])f[i][j] = max(maxv,f[i][j]);
            if(b[j] < a[i])maxv = max(maxv,f[i - 1][j] + 1);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)res = max(res,f[n][i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}