鸡蛋掉落

问题：

给你 k 枚相同的鸡蛋，并可以使用一栋从第 1 层到第 n 层共有 n 层楼的建筑。

已知存在楼层 f ，满足 0 <= f <= n ，任何从 高于 f 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 f 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次操作，你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 x 扔下（满足 1 <= x <= n）。如果鸡蛋碎了，你就不能再次使用它。如果某枚鸡蛋扔下后没有摔碎，则可以在之后的操作中 重复使用 这枚鸡蛋。

请你计算并返回要确定 f 确切的值 的 最小操作次数 是多少？

本题是谷歌的一道经典面试题。由于本题过于经典，谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。

解法：

题目是这样：你面前有一栋从 1 到 N 共 N 层的楼，然后给你 K 个鸡蛋（K 至少为 1）。现在确定这栋楼存在楼层 0 <= F <= N，在这层楼将鸡蛋扔下去，鸡蛋恰好没摔碎（高于 F 的楼层都会碎，低于 F 的楼层都不会碎）。现在问你，最坏情况下，你至少要扔几次鸡蛋，才能确定这个楼层 F 呢？

也就是让你找摔不碎鸡蛋的最高楼层 F，但什么叫「最坏情况」下「至少」要扔几次呢？我们分别举个例子就明白了。

比方说现在先不管鸡蛋个数的限制，有 7 层楼，你怎么去找鸡蛋恰好摔碎的那层楼？

最原始的方式就是线性扫描：我先在 1 楼扔一下，没碎，我再去 2 楼扔一下，没碎，我再去 3 楼……

以这种策略，最坏情况应该就是我试到第 7 层鸡蛋也没碎（F = 7），也就是我扔了 7 次鸡蛋。

先在你应该理解什么叫做「最坏情况」下了，鸡蛋破碎一定发生在搜索区间穷尽时，不会说你在第 1 层摔一下鸡蛋就碎了，这是你运气好，不是最坏情况。

现在再来理解一下什么叫「至少」要扔几次。依然不考虑鸡蛋个数限制，同样是 7 层楼，我们可以优化策略。

最好的策略是使用二分查找思路，我先去第 (1 + 7) / 2 = 4 层扔一下：

如果碎了说明 F 小于 4，我就去第 (1 + 3) / 2 = 2 层试……

如果没碎说明 F 大于等于 4，我就去第 (5 + 7) / 2 = 6 层试……

以这种策略，最坏情况应该是试到第 7 层鸡蛋还没碎（F = 7），或者鸡蛋一直碎到第 1 层（F = 0）。然而无论那种最坏情况，只需要试 log7 向上取整等于 3 次，比刚才尝试 7 次要少，这就是所谓的至少要扔几次。

Python：动态规划+备忘录+二分

class Solution:
    def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:
        memo = {}
        def dp(K, N):
            if (K, N) not in memo:
                if K == 1: res = N 
                elif N == 0: res = 0
                # 二分缩小楼层范围
                else:
                    low, high = 1, N
                    while low + 1 < high:
                        mid = (high+low) // 2
                        s1 = dp(K-1, mid-1)
                        s2 = dp(K, N-mid)
                        if s2 > s1:
                            low = mid
                        elif s1 > s2:
                            high = mid
                        else:
                            low = high = mid
                    res = 1 + min(max(dp(K-1, i-1), dp(K, N-i)) for i in (low, high))
                memo[(K, N)] = res
            return memo[(K, N)]
        return dp(k, n)