CSP-S 2021 廊桥分配 题解

part 1:

题目描述：

当一架飞机抵达机场时，可以停靠在航站楼旁的廊桥，也可以停靠在位于机场边缘的远机位。乘客一般更期待停靠在廊桥，因为这样省去了坐摆渡车前往航站楼的周折。然而，因为廊桥的数量有限，所以这样的愿望不总是能实现。

机场分为国内区和国际区，国内航班飞机只能停靠在国内区，国际航班飞机只能停靠在国际区。一部分廊桥属于国内区，其余的廊桥属于国际区。

L 市新建了一座机场，一共有 $n$ 个廊桥。该机场决定，廊桥的使用遵循“先到先得”的原则，即每架飞机抵达后，如果相应的区（国内/国际）还有空闲的廊桥，就停靠在廊桥，否则停靠在远机位（假设远机位的数量充足）。该机场只有一条跑道，因此不存在两架飞机同时抵达的情况。

现给定未来一段时间飞机的抵达、离开时刻，请你负责将 $n$ 个廊桥分配给国内区和国际区，使停靠廊桥的飞机数量最多。

输入格式

输入的第一行，包含三个正整数 $n,m_1,m_2$，分别表示廊桥的个数、国内航班飞机的数量、国际航班飞机的数量。

接下来 $m_1$ 行，是国内航班的信息，第 $i$ 行包含两个正整数 $a_{1,i},b_{1,i}$，分别表示一架国内航班飞机的抵达、离开时刻。

接下来 $m_2$ 行，是国际航班的信息，第 $i$ 行包含两个正整数 $a_{2,i},b_{2,i}$，分别表示一架国际航班飞机的抵达、离开时刻。

每行的多个整数由空格分隔。

输出格式

输出一个正整数，表示能够停靠廊桥的飞机数量的最大值。

样例输入 #1

3 5 4
1 5
3 8
6 10
9 14
13 18
2 11
4 15
7 17
12 16

样例输出 #1

7

样例输入 #2

2 4 6
20 30
40 50
21 22
41 42
1 19
2 18
3 4
5 6
7 8
9 10

样例输出 #2

4

part 2

解析：

首先得以想到的是枚举所有可能，选择最优方案，这样的话时间复杂度约为 $O(n^2)$ 在 $n<={10}^5$ 的情况下会超时。那么要怎么优化呢？
不妨这样想，一共有 $n$ 个廊桥，如果给国内长区分 $i(i<=n)$ 个，那么国际区就可以分到 $n-i$ 个。那么就可以定义 $f_i,g_i$ 分别为当分 $i$ 个廊桥时能分到的廊桥个数。那么题目就转为求 $f_i+g_{n-i}$ 的最大值。所以解题思路为：当有飞机抵达机场时如果还有空余的廊桥，则选择编号最小的一个停放，并使其廊桥贡献值加一。由于每当抵达机场时都要对廊桥编号进行排序，会占用大量时间，所以可以用堆来存放，最后用前缀和计算前 $1-n$ 项和即可。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define bool char                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            //防盗水印       
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int n,m1,m2,f[N]={0},g[N]={0};
struct edge
{
	int be,en;
}a[N],b[N];
struct node
{
	int num,leave_t;
	node(){}
	node(int numm,int lea){num=numm;leave_t=lea;}
	bool operator < (const node& r) const
	{
		return leave_t>r.leave_t;
	}
};
bool cmp(edge x,edge y){return x.be<y.be;}
int main() 
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m1,&m2);
	for(int i = 1;i<=m1;i++)
	scanf("%d%d",&a[i].be,&a[i].en);
	for(int i = 1;i<=m2;i++)
	scanf("%d%d",&b[i].be,&b[i].en);
	sort(a+1,a+1+m1,cmp);
	sort(b+1,b+1+m2,cmp);
	priority_queue<int, vector<int> ,greater<int> > p;  //存放空余的廊桥 
	priority_queue<node> pq;  //存放停在廊桥飞机的廊桥编号和离开时间 
	for(int i = 1;i<=n;i++) p.push(i); //初始所有廊桥均为空闲状态 
	for(int i = 1;i<=m1;i++)
	{
		while(!pq.empty()&&a[i].be>pq.top().leave_t){
			p.push(pq.top().num);
			pq.pop();
		}
		if(!p.empty())
		{
			pq.push(node(p.top(),a[i].en));
		    f[p.top()]++;
		    p.pop();
		}
		
	} 
	while(!p.empty()) p.pop();  //清空队列，优先队列不支持 clear() 
	while(!pq.empty()) pq.pop();
	for(int i = 1;i<=n;i++) p.push(i);
	for(int i = 1;i<=m2;i++)
	{
		while(!pq.empty()&&b[i].be>pq.top().leave_t){
			p.push(pq.top().num);
			pq.pop();
		}
		if(!p.empty())
		{
			pq.push(node(p.top(),b[i].en));
	    	g[p.top()]++;
	    	p.pop();
		}
	}
	for(int i = 2;i<=n/*千万别写成m1*/;i++) f[i]=f[i]+f[i-1];
	for(int i = 2;i<=n/*千万别写成m2*/;i++) g[i]=g[i]+g[i-1];  
	int ans=0;
	for(int i = 0;i<=n;i++)
	ans=max(ans,f[i]+g[n-i]);
	printf("%d",ans);
	return 0; 
}