Codeforces Round 965 (Div. 2) 题解

个人难度顺序：A < D < B < C < E。

A. Find K Distinct Points with Fixed Center

如果 $k$ 是偶数，构造 $(x_c + i, yc + i)$，其中 $- \frac{k}{2} \le i \le \frac{k}{2}$。
对于 $k$ 是奇数，先加一个点 $(xc, yc)$，然后就变成偶数的情况了。

B. Minimize Equal Sum Subarrays

先猜只有 $[1, n]$ 的和相等。
做前缀和，问题就变成了 $sump_{r} - sump_{l} \neq sumq_{r} - sumq_{l}$。
移项可得 $sump_{r} - sumq_{r} \neq sump_{l} - sump_{l}$。
这就是在说，对于 $i \neq n$，$\Delta_i = sumq_i - sump_i$ 互不相等。

然后枚举构造方式，发现可以构造 $q_i = p_i \bmod n + 1$。
不难发现，如果 $p_i < n$，则 $\Delta_i = \Delta_{i - 1} + 1$；如果 $p_i = n$，则 $\Delta_i = \Delta_{i - 1} - (n - 1)$。
观察到只有 $\Delta_0 = \Delta_n = 0$，所以这个构造是对的。

C. Perform Operations to Maximize Score

只会没有脑子的做法。
首先发现，让中位数增大的代价一定不比让 $a_i$ 增大的代价小。
所以说对于 $b_i = 1$ 的 $i$，我们一定是让 $a_i$ 变为 $a_i + k$，贡献为 $a_{i} + k + \operatorname{median}(c_i)$，删掉一个数时 median 的排名变化是 $O(1)$ 的，可以暴力。
对于 $b_i = 0$ 的 $i$，我们要让 $\operatorname{median}(c_i)$ 尽可能大。

考虑如果只有一个 $b_i = 0$。
求中位数我们会二分一个 $mid$，将 $a_i \le mid$ 的位置标记为 0，其余位置标记为 1。
如果 0 的数量小于中位数的排名，就说明 $\operatorname{median}(c_i) > mid$，所以我们的目标是让 0 的数量尽可能少。
这一步可以贪心去做，就是将每个位置按从 0 变 1 的代价从小到大排序，然后从前往后取，知道代价大于 $k$。
这样就完成了 check，可以通过先从大到小排序将 check 优化到 $O(n)$。

现在我们有很多个 $b_i = 0$，考虑整体二分。
发现 $b_i = 0$ 的位置并不能是 0 的个数改变，所以 check 和上面是一样的。
然后就做完了。

时间复杂度 $O(n \log V)$。

D. Determine Winning Islands in Race

如果 Elsie 能一步跨过 Bessie 走过的路，那么他就赢了，也就是说只有额外边能决定胜负。
所以先求出从 1 到每个点 $u$ 的距离 $dis_u$，然后枚举每条额外边 $(u, v)$。
发现 $(u, v)$ 这条边只能让 Elsie 在 $(u, v - dis_u - 1)$ 这几个点赢。
求答案的话就差分一下，时间复杂度 $O(n)$。

E1. Eliminating Balls With Merging (Easy Version)

只会笨蛋做法。
首先你会暴力，就是枚举每个位置 $i$，维护它能吸收的区间 $[l, r]$，然后 $l$ 和 $r$ 分别往两边扩。
但你仔细想想，如果你跨过了一个原本不能跨过的位置，那么 $a_i$ 一定是翻倍的，所以只会扩展 $O(\log V)$ 次，每次扩展可以通过 ST 表+二分实现。
时间复杂度 $O(n \log n \log V)$。

E2. Eliminating Balls With Merging (Hard Version)

考虑在上一个题的基础上分别求出 $l$ 扩展到 1 时 $r$ 能扩展的最大位置和最小位置，这样做个前缀和就好了。
时间复杂度 $O(n \log n \log V)$。
是 P9530 [JOISC2022] 鱼 2 的超级弱化版。