十二重计数法

$n$ 个球，$m$ 个盒子，求在一定限制条件下把小球放入盒子的方案数。

1. 球之间互相区分，盒子之间互相区分。

每个球能放 $m$ 个盒子，显然是:

$$m^n$$

2. 球之间互相区分，盒子之间互相区分，每个盒子至多放一个球。

先选出装了球的盒子，然后排列球的顺序。
答案为：

$$\binom{m}{n} n! = m^{\underline{n}}$$

3. 球之间互相区分，盒子之间互相区分，每个盒子至少放一个球。

容斥，答案为：

$$\sum_{i = 0}^n (-1)^i \binom{m}{i} (m - i)^n$$

4. 球之间不互相区分，盒子之间互相区分。

插板，答案为：

$$\binom{n + m - 1}{m - 1}$$

5. 球之间不互相区分，盒子之间互相区分，每个盒子至多放一个球。

答案为:

$$\binom{m}{n}$$

6. 球之间不互相区分，盒子之间互相区分，每个盒子至少放一个球。

可以先每个盒子都放一个，然后就变成了 4.。
答案为：

$$\binom{n - 1}{m - 1}$$

7. 球之间互相区分，盒子之间不互相区分。

发现每个盒子只由它装了哪些球来区分，没有装球的盒子是没有区别的。
所以可以先枚举装了球的盒子数，答案就是斯特林子集数的行前缀和：

$$\sum_{i = 1}^m \begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix}$$

8. 球之间互相区分，盒子之间不互相区分，每个盒子至多放一个球。

显然答案为：

$$[n \le m]$$

9. 球之间互相区分，盒子之间不互相区分，每个盒子至少放一个球。

斯特林子集数，答案为：

$$\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}$$

10. 球之间不互相区分，盒子之间不互相区分。

分拆数。

转置一下，问题就从 有 $m$ 个盒子，每个盒子中放任意个球 变成了 有任意个非空盒子，每个盒子可以放至多 $m$ 个球。
所以答案为：

$$[z^n] \prod_{i = 1}^m \dfrac{1}{1 - z^i}$$

可以通过先 $\ln$ 再 $\exp$ 的方式快速求出。

11. 球之间不互相区分，盒子之间不互相区分，每个盒子至多放一个球。

答案为：

$$[n \le m]$$

12. 球之间不互相区分，盒子之间不互相区分，每个盒子至少放一个球。

每个盒子先放一个球后就变成了 10.。
答案为：

$$[z^{n - m}] \prod_{i = 1}^m \dfrac{1}{1 - z^i}$$