[题解] CF1327F AND Segments

AND Segments

有 $m$ 个限制 $(l, r, x)$。
要计算满足以下条件的长度为 $n$ 的序列 $a$ 的数量：

• $\forall i \in [1, n], 0 \le a_i < 2^k$。
• $\forall i \in [1, m], a_{l_i} \operatorname{and} a_{l_i + 1} \operatorname{and} \cdots \operatorname{and} a_{r_i} = x$。
  $n, m \le 10^5, k \le 30$。

首先要想到分别计算二进制下每一位的方案数然后乘起来就是答案。

然后现在问题就变成了有若干个限制表示 $a$ 在 $[l_i, r_i]$ 中的数的按位与为 0/1，要计算 01 序列 $a$ 的数量。

将每个限制挂到右端点上，然后 dp 计算方案数。

因为是按位与，所以值只与最后一个 0 的位置有关。所以设 $f_{i, j}$ 表示考虑了前 $i$ 个位置，最后一个 0 的位置为 $j$ 时的方案数。

可以发现，对于每条限制，其实是限制了最后一个 0 的位置一定是在一个区间里。具体地说，如果有一个限制 $(l, r, 0)$，就说明在 $[l, r]$ 一定有一个 0，也就是当 $i = r$ 时，最后一个 0 一定是在 $[l, r]$ 中；如果有一个限制 $(l, r, 1)$，就说明在 $[l, r]$ 中一定全是 1，也就是当 $i = r$ 时，最后一个 0 一定是在 $[0, l - 1]$ 中。

转移就是先考虑没有限制的时候：对当前位置填 0 还是填 1 分别考虑：

$$f_{i, j} \leftarrow f_{i - 1, j} \\ f_{i, i} \leftarrow \sum_{j \in [0, i)} f_{i - 1, j}$$

再考虑加上限制:

• 如果有一个限制 $(l, r, 0)$：

$$\forall j \in [0, l), f_{r, j} = 0$$

• 如果有一个限制 $(l, r, 1)$：

$$\forall i \in [l, r], f_{i, i} = 0$$

把第一维滚掉之后我们要做的就是单点改、前缀推平成 0、求前缀和，这个记一下前缀和和最长前缀推平长度就行了。

时间复杂度 $O(nk)$。

constexpr int MAXN = 5e5 + 9;
int n, k, m, ans = 1, f[MAXN], a[MAXN];
vector<pair<int, int> > lim[MAXN];

int calc(int bit) {
	for (int i = f[0] = 1; i <= n; i ++) f[i] = 0, a[i] = 0;
	for (int r = 1; r <= n; r ++) for (auto [l, x] : lim[r])
		if (x >> bit & 1) a[l] ++, a[r + 1] --;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) a[i] += a[i - 1];
	int sum = 1, pre = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		int pos = 0;
		for (auto [l, x] : lim[i])
			if ((x >> bit & 1) == 0) cmax(pos, l);
		if (!a[i]) f[i] = sum, cadd(sum, f[i]);
		while (pre < pos) cdel(sum, f[pre]), pre ++;
	}
	return sum;
}

void slv() {
	n = Read<int>(), k = Read<int>(), m = Read<int>();
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int l = Read<int>(), r = Read<int>(), x = Read<int>();
		lim[r].emplace_back(l, x);
	}
	for (int i = 0; i < k; i ++) cmul(ans, calc(i));
	Write(ans, '\n');
	return;
}