Min_25 Sieve 学习笔记

这个东西不是人想的。

解决问题：积性函数前缀和。

适用条件：可以快速计算 $f(p)$ 的前缀和，$f(p^k)$ 可以被表示成若干完全积性函数的线性组合（指对应项可以快速组合出来）。

时空复杂度：就当是 $O(\dfrac{n^\frac{3}{4}}{\log n}+n^{1-\epsilon})-O(\sqrt n)$。

以下默认 $f(p)$ 为关于 $p$ 的单项式，$p_i$ 为第 $i$ 个质数。

求质数处的前缀和

我们需要对于每个能被表示成 $\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor$ 的数，求所有在其前的质数 $p$ 的 $\sum f(p)$。注意到一个数的最小质因子小等于 $\sqrt n$，我们设计一个 dp：$g_{i,j}$ 表示最小质因子大于 $p_i$，$[1,j]$ 的所有数的 $f$ 之和。转移时把最小质因子为 的 $p_i$ 数的 $f$ 全部删去，即得转移，注意容斥掉前面的质数的贡献：

$$g_{i,j} = g_{i-1,j} - f(p_i)\big{(}g_{i-1,j/p_i} - \sum_{k\le i}f(p_k)\big{)}$$

这就体现出完全积性的重要性。求和号部分可以在线筛质数的时候预处理出来。第一维显然可以滚动数组优化掉，而对于第二维，$\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor$ 只有 $O(\sqrt n)$ 个，预处理出来，大于 $\sqrt n$ 的编号为 $n/\sqrt n$ 即可。

我们把筛去所有最小质因子后的得到的 dp 数组记为 $g$。

求原函数前缀和

设 $s_{n,i}$ 表示 $[1,n]$ 最小质因子大于 $p_i$ 的所有数的 $f$ 之和。枚举最小质因子及其次数，得到转移

$$s_{n,i} = g_n - \sum_{j\le i}f(p_j) + \sum\limits_{p_k^t \le n} f(p_k^t)\bigg{(}s_{n/p_k^t},k+1)+[t\gt 1]\bigg{)}$$

根据神奇的复杂度分析，可以直接递归下去做。

最后加上 $1$ 的贡献。