鉄道旅行 (Railroad Trip)
题意
有 \(n\) 个城市, \(n-1\) 条道路。其中第 \(i\) 个城市和第 \(i+1\) 个城市由第 \(i\) 条道路连接。通过一条道路有两种付费方式:每次支付费用 \(a_i\) ,或者支付一次费用 \(c_i\) ,然后每次支付费用 \(b_i\) 。
\(m-1\) 次旅行,第 \(j\) 次旅行从城市 \(p_{j}\) 到城市 \(p_{j+1}\) 。
求完成旅行所需的最小费用。
分析与解答
发现每条道路对答案的影响是独立的。
考虑统计一段道路被经过的次数,然后对于每段道路在两种方案中取最小即可。
对于每次旅行都把所有经过道路的经过次数 \(+1\) ,最后统计即可。
那么这就是一个区间修改,单点查询的问题。
所以差分一下就好了。
注意这里统计的是起点和终点间的边经过的数量,所以每次把一段旅行的起止点中标号较小的城市在差分数组中 \(+1\),标号较大的城市在差分数组中 \(-1\) 即可。
时间复杂度 $ \Theta(n)$
就做完了,就这么简单
代码中无意间卡空间,请见谅。
Code
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define RE register
using namespace std;
inline int read()
{
int x = 0; char c = getchar();
while(c<'0'||c>'9') c = getchar();
while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
return x;
}
inline int min(int a, int b){return a<b?a:b;}
inline int max(int a, int b){return a>b?a:b;}
const int MAXN = 100010;
int n, m;
int d[MAXN];
int main()
{
n = read(); m = read();
RE int now, last = 0;
for(RE int i=1;i<=m;i++)
{
now = read();
if(last) ++d[min(last, now)], --d[max(last, now)];
// 差分,标号较小的 +1 ,标号较大的 -1
last = now;
}
for(RE int i=1;i<n;i++)
d[i] += d[i-1]; // 还原成真正的经过次数
long long ans = 0;
for(RE int i=1;i<n;i++)
{
RE int a = read(), b = read(), c = read();
ans += min(1ll*a*d[i], 1ll*d[i]*b+c);
// 直接计算费用,每条道路取最小。
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}