城壁 (Rampart)
题意简述
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给定一张 $H \times W $ 的网格图,其中有 \(P\) 个被标记的点,求边长为 \(L\) 或以上的正方形的个数,要求正方形的边不得经过被标记的点。
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\(1 \le H,W \le 4000\), \(1 \le P \le 10^5\)
分析与解答
考虑枚举合法正方形的左下端点 \((i,j)\) 和正方形边长 \(len\) ,由此可以得到右上端点 \((i+len-1,j+len-1)\)。
考虑什么条件下枚举到的正方形才能被计入答案。
记 \(left,right,up,down\) 数组,分别表示点 \((i,j)\) 向左/右/上/下最多能延伸多少长度,并且不遇到被标记的点。
\(left,right,up,down\) 数组可以通过 \(\Theta(nm)\) 递推得到。
记 \(lu_{i,j}=\min(light_{i,j},up_{i,j})\), \(rd_{i,j}=\min(right_{i,j},down_{i,j})\)
\(x = i+len-1\),\(y=j+len-1\)
那么必须当 \(lu_{i,j} \ge len\) 且 \(rd_{x,y} \ge len\) 且 \(len \ge L\) 时,这个正方形才能被计入答案。
也就是说对于 \((i,j)\),我们需要求出有多少个点 \(i+len-1\), \(j+len-1\) 满足 \(rd_{i+len-1,j+len-1} \ge len\)。
这个问题就可以用主席树解决。
时间复杂度 \(\Theta(nm \log_2 (\max(n,m)))\)
Code
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 4010;
int n, m, l, k, a[MAXN][MAXN];
int ld[MAXN][MAXN], rd[MAXN][MAXN], ud[MAXN][MAXN], dd[MAXN][MAXN];
struct node{
int lc, rc, val;
}t[MAXN*40];
int rt[MAXN], cnt = 0;
void update(int l, int r, int &now, int ver, int pos)
{
t[now = ++cnt] = t[ver];
++t[now].val;
if(l == r) return ;
int mid = l+r>>1;
if(pos <= mid) update(l, mid, t[now].lc, t[ver].lc, pos);
else update(mid+1, r, t[now].rc, t[ver].rc, pos);
}
int query(int l, int r, int x, int y, int ql, int qr)
{
if(l >= ql && r <= qr) return t[y].val - t[x].val;
int mid = l+r>>1;
int res = 0;
if(ql <= mid) res += query(l, mid, t[x].lc, t[y].lc, ql, qr);
if(qr >= mid+1) res += query(mid+1, r, t[x].rc, t[y].rc, ql, qr);
return res;
}
int d1[MAXN], d2[MAXN], tot;
inline int calc()
{
const int maxn = max(n, m);
cnt = 0;
for(int i=1;i<=tot;i++)
update(-maxn, maxn, rt[i], rt[i-1], d2[i]-i-1);
int res = 0;
for(int i=1;i<=tot;i++)
{
int nl = i+l-1, nr = i+d1[i]-1;
if(nl > nr) continue;
res += query(-maxn, maxn, rt[nl-1], rt[nr], -i, maxn);
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&k);
for(int i=1;i<=k;i++)
{
int x, y;
scanf("%d%d",&x,&y);
a[x][y] = 1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
ld[i][j] = a[i][j]?0:ld[i][j-1]+1;
ud[i][j] = a[i][j]?0:ud[i-1][j]+1;
}
for(int i=n;i>=1;i--)
for(int j=m;j>=1;j--)
{
rd[i][j] = a[i][j]?0:rd[i][j+1]+1;
dd[i][j] = a[i][j]?0:dd[i+1][j]+1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
a[i][j] = 0;
ll ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(a[i][j]) continue;
int x = i, y = j;
tot = 0;
while(x <= n && y <= m)
{
a[x][y] = 1;
d1[++tot] = min(rd[x][y], dd[x][y]);
d2[tot] = min(ld[x][y], ud[x][y]);
++x, ++y;
}
ans += calc();
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}