[ARC073C] Ball Coloring
简要题意
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\(N\) 个盒子,每个盒子里有两个数。现在要把盒子中的数分成两种颜色,满足:
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- 每个盒子中的数分别属于两种颜色,每个数恰好属于一种颜色
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- 两种颜色的数的极差的乘积最小
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求这个最小值
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\(N \le 200000\)
分析与解答
考虑极差的乘积的最小值,要么是让其中一个极小;要么是让两个都尽量小,感性理解即可
下文记 \(x_i\) 表示第 \(i\) 个盒子的较小值,\(y_i\) 表示第 \(i\) 个盒子的较大值。
分类讨论最大值和最小值是不是同色
1. 最大值和最小值不同色
这时让两个极差都尽量小
所以把所有 \(y_i\) 染成同一种颜色,所以 \(x_i\) 染成另一种颜色。
证明考虑交换一对 \(x_i\)、\(y_i\),比较简单,也很好理解,这里就不写了。
2. 最大值和最小值同色
此时,其中一种颜色的极差已经固定,为所有数的极差,我们的目标是让另一种颜色的极差尽量小。
下面记 选一个盒子 表示把这个盒子的 \(x_i\) 划分到另一种颜色,这种颜色(即上文另一种颜色)的其余部分由其余盒子的 \(y_i\) 组成。
首先将盒子按照 \(x_i\) 排序
此时可以证明,选出的盒子一定是从某个位置 \(p\) 开始的一段后缀 \((p > 1)\)
证明如下:
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假设当前选了后 \(p\) 个盒子。由于按照 \(x_i\) 排过序,所以最大值为 \(maxx = \max(x_n, \max\{y_i\})\),最小值为 \(minn = \min(x_p, \min\{y_i\})\)。记此时极差
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若在前 \(n-p\) 个位置中,还选了一个盒子 \(k\)。则此时最大值 \(maxx^{'} = maxx\),最小值 \(minn^{'}= \min(x_k, \min\{y_i\})\)
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还是由于 \(x_i\) 有序,所以 \(minn^{'} \le minn\)。所以不选 \(k\) 时,极差不会比选 \(k\) 更大。
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所以选的一定是一段后缀
所以枚举 \(p\),维护 \(y_i\) 的前缀最大值和前缀最小值即可。
记得和第一种情况取最小值。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 200010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
struct ball{
int x, y;
ball(int X=0,int Y=0):x(X),y(Y){}
inline bool operator<(const ball&o)const{return x<o.x;}
}a[MAXN];
int main()
{
// freopen("ball.in","r",stdin);
// freopen("ball.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
int maxx = 0, minx = INF, maxy = 0, miny = INF;
for(int i=1,u,v;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
a[i].x = min(u, v);
a[i].y = max(u, v);
maxx = max(maxx, a[i].x);
minx = min(minx, a[i].x);
maxy = max(maxy, a[i].y);
miny = min(miny, a[i].y);
}
ll ans = 1ll*(maxx-minx)*(maxy-miny);
ll val1 = maxy - minx;
sort(a+1, a+n+1);
minx = INF; maxx = 0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
minx = min(minx, a[i].y);
maxx = max(maxx, a[i].y);
ans = min(ans, val1*(max(maxx, a[n].x) - min(minx, a[i+1].x)));
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}