校内高质量模拟赛选做

「2020-02-14 省选模拟赛」同桌与室友 (mate)

• 注意到每个人最多连出两条边，因此形成的图要么是环，要么是链。链分两端颜色是否相同讨论即可。

「2020-02-14 省选模拟赛」传送 (teleport)

• 有显然的差分约束模型。实际上 dp 可以求出每个点的合法区间，最后若区间非空即有解。

• 注意到每花费 $1$ 的代价即可使答案区间左右各扩大 $1$，因此花费可简单计算。

「2020-02-14 省选模拟赛」生成树 (tree)

• 将绿边权值设为 $x$，蓝边权值设为 $y$，红边权值设为 $1$，矩阵树定理之后的形式是关于 $x, y$ 的二元多项式。答案即为系数的二维前缀和，二元插值即可求出。

---

「2020-02-17 省选模拟赛」序列 (seq)

• 倒序考虑 $q$ 的组成。最后加入的数对可以通过分奇偶性区间极值得出。这样可以把原区间分为三个子区间，递归下去即可。子区间的数对必须在当前区间的数对之前选择，这样可以得到数对之间的偏序关系，求字典序最小的拓扑序即可。

「2020-02-17 省选模拟赛」进制 (hex)

• 第一问，注意到十六进制数的长度不超过 $15$，预处理每种长度的数在序列中占多少长度可以判断位数。之后通过数位之间的整除、取模即可求得。

• 第二问，求出第一问后相当于小于某个数的所有数做数位统计，数位 dp 即可。

「2020-02-17 省选模拟赛」矩阵 (matrix)

• 设 $f_{i,j}$ 表示有 $i$ 行 $j$ 列，其中每行都有涂黑的方案数。

• $\text{ans} = \sum \dbinom{n}{i}f_{i,m}$

• 考虑两种转移：

  1. 新增一列。$f_{i,j} \xleftarrow{+} (\dbinom{j}2+j+1)f_{i,j-1}$；

  2. 新增一列，以及若干行。考虑原来某列第一个位置的上一个，和最后位置的下一个位置，和新增的 $i-k$ 个位置一共形成 $i-k+2$ 个位置。那么相当于在 $i+2$ 个位置中选出 $i-k+2$ 个位置填数。 $f_{i,j} \xleftarrow{+} \dbinom{i+2}{i-k+2}f_{k,j-1}$。转移是卷积的形式，NTT 即可。

---

「2020-02-18 省选模拟赛」小 D 的奶牛 (cows)

• 先考虑 $2^n$ 做法。记录每个点连出的点集，状压 dp 每个集合是否可行。
• 折半搜索。前一半需要统计子集中有多少个合法，可以 FWT；在后半搜索的时候直接求出对应的集合最大能是多少。

---

[「2020-02-21 省选模拟赛」遗迹探索 (strings) ]

一个串把中间的 SAD 计入答案后，只有前后缀两个字符有用，我们完全可以把信息压缩成：前缀 A 的出现次数，前缀 AD 的出现次数，后缀 S 的出现次数，后缀 SA 的出现次数。如果不存在单独的 A，则贡献是好算，注意一些串可能同时存在匹配的前后缀，要去除用的所有串都是同一类的情况。考虑单独的 A，枚举其被用了几个，把一些长度为 $1$ 的前/后缀拼成长度为 $2$ 的前/后缀即可

「2020-02-21 省选模拟赛」基因进化 (reverse)

对于可翻转前缀 $[1,i]$，我们能从其最优答案推出下个可翻转前缀 $[1,j]$ 的最优答案。直接维护这个最优答案，需要支持头插入、尾插入、翻转字符串，使用 hash 二分判断字典序，双端队列维护 hash 值。

「2020-02-21 省选模拟赛」城市破坏 (disconnected)

• 如何判断删去若干边之后，图能否被分成两个连通块？

• 每条边随机一个权值，点权为相邻的边的边权的异或和，满足所有点权为 $0$。若删去的边的边权异或和为 $0$，则被分成两个连通块；否则不是。

• $2^c$ 枚举删掉的边集，若异或和为 $0$ 则不连通。

• 关于边权，dfs 树上，非树边随机，树边构造即可。

---

「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的班级 (class)

如果人的位置确定，点 $u$ 的父边最多能为 $\min(siz_u, n-siz_u)$ 个点对产生贡献，并且显然可以取到上界。那么对所有方案计数只需分别枚举子树内男、女人数即可，直接做是 $O(nm^2)$ 的。实际上只需要枚举子树内总人数即可。

[「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的环 (loop)]

倍长断环成链，如果相邻字符相同则这两个位置不会同时出现，这样就把字符串分割成若干段独立子串。删除长度为 $k$ 的串，等价于保留长度为 $n-k$ 的串；存在合法的长度为 $k$ 的串，等价于 $\exist i,s_{i} \ne s_{i+k-1}$，显然补集转化，不存在合法的长度为 $k$ 的串，等价于 $\forall i,s_{i} = s_{i+k-1}$，即存在长度为 $len-k+1$ 的 border。求串的所有 border，kmp 即可。

[「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的农场 (farm) ]

分治，求所有跨过中线的答案。以竖中线为例，枚举上边界，线段树维护每个下边界的答案，则中线两边显然分别考虑，且可选长度自上而下构成一个逐渐“缩紧”的形状，用单调栈维护。注意边界。

注意到答案大等于 $2\max(W,H)+2$，所以只需要横着竖着各分治一次即可。

---

[「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的棋盘 (chess)]

无穷解当且仅当 $k\ge n$，比较显然。否则前 $k+1$ 个点与后 $k+1$ 个点至少存在一对匹配点，否则无法增加 $k$ 个点使对称。枚举匹配点对，即可求出对称中心，暴力判断是否存在匹配点即可。可以排序后双指针优化常数。

[「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的夏令营 (camp)]

等价于相邻两行剩余区间有交。暴力 dp，设 $f_{i,l,r}$ 表示考虑前 $i$ 行，第 $i$ 行剩余区间为 $[l,r]$ 的方案数，转移枚举上一行所有有交的区间，再乘上剩下 $[l,r]$ 的概率。需要优化状态。设 $g_{i,j} = \sum \limits_{k\le j} f_{i,k,j}$，发现 $f$ 的转移方程可以用 $g$ 表示，然后再求一个前缀和即可得到 $g$ 的转移式，可以前缀和优化。

「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的图 (graph)

把询问离线下来排序。当 $x$ 很充分小时，我们优先选用 $k+x$ 的边；随着 $x$ 增大，我们会选择把一些边替换成 $k-x$ 的边。但是两种边使用的集合是不变的——一定是各自子图上最小生成树边。所以先求出 $k+x$ 边的最小生成树，枚举每一条 $k-x$ 边，维护路径上边权最大值，可以求出替换时的 $x$ 值。注意到如果两条 $k-x$ 边对应路径有交集，那么一定是 $k$ 小的先替换，并且不会再被替换。所以替换后要在最小生成树上删除，边权赋成负无穷。LCT 维护最小生成树即可。

---

「2020-03-31 省选模拟赛」积性函数求和 (sum)

算法 1

$f(p^k) = 2k+1$，Min25 筛板子题。

算法 2

口胡的。

$f(n) = \sum \limits_{d|n} \sum\limits_{p|n}[(p,d)=1] = \sum\limits_{t|n} \mu(t)\sigma_{0}^2(\dfrac{n}t)$

$\sum\limits_{i=1}^n f(i) = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{t|i} \mu(t)\sigma_{0}^2(\dfrac{i}t) = \sum\limits_{d=1}^n \mu(d) \sum\limits_{i=1}^{n/d}\sigma_{0}^2(i)$

如果可以使用杜教筛求出 $\sigma_0^2$ 的前缀和，那么由于我们只需要其在形如 $\lfloor\dfrac{n}{x}\rfloor$ 处的前缀和，一遍杜教筛即可解决问题。感觉很对。

算法 3

搬运官方题解。

$f(n) = \prod\limits_{i=1}^{k}(2\alpha_i+1) = \sum\limits_{S\subseteq\{1,2,3\dots ,k\}} 2^{|S|}\prod\limits_{i\in S} \alpha_i = \sum\limits_{d|n}2^{\omega({d})} = \sum\limits_{d|n}\sum\limits_{p|d}\mu^2(p)$

所以

$$f = \mu^2 * I* I = \mu^2 * \sigma_{0}$$

带回原式

$$\sum \limits_{i=1}^n f(i) = \sum \limits_{i=1}^n\mu^2(i)\sum\limits_{j=1}^{n/i}\sigma_0(j)$$

有两个比较经典的结论

$$\sum\limits_{i=1}^n \mu^2(i) = \sum\limits_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i) \lfloor\dfrac{n}{i^2}\rfloor$$

$$\sum\limits_{i=1}^n \sigma_0(i) = \sum\limits_{i=1}^n \lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor$$

则 $\sum \mu^2$ 和 $\sum \sigma_0$ 的前缀和都可以在不超过 $O(\sqrt n)$ 的时间复杂度内求出。因此可以预处理前 $\sqrt n$ 个值，剩下的暴力做，复杂度分析和杜教筛是一样的。

「2020-03-31 省选模拟赛」游戏 (game)

先手必胜：对手存在一张牌，使得其比先手所有牌都小。

后手必胜：对于自己的每一张牌，都有一张先手的牌比它小。

剩下都是平局。

「2020-03-31 省选模拟赛」子串排列 (permutation)

把询问结点定位到后缀树上，建出虚树贪心。维护每个子树的答案，把所有子结点的答案按照字典序排序后加入，最后再加入当前子树根的串。排序直接暴力排（在这里想了挺久），重儿子长度不会计入，复杂度是对的。