校内高质量模拟赛选做
「2020-02-14 省选模拟赛」同桌与室友 (mate)
- 注意到每个人最多连出两条边，因此形成的图要么是环，要么是链。链分两端颜色是否相同讨论即可。
「2020-02-14 省选模拟赛」传送 (teleport)
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有显然的差分约束模型。实际上 dp 可以求出每个点的合法区间，最后若区间非空即有解。
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注意到每花费 \(1\) 的代价即可使答案区间左右各扩大 \(1\)，因此花费可简单计算。
「2020-02-14 省选模拟赛」生成树 (tree)
- 将绿边权值设为 \(x\)，蓝边权值设为 \(y\)，红边权值设为 \(1\)，矩阵树定理之后的形式是关于 \(x, y\) 的二元多项式。答案即为系数的二维前缀和，二元插值即可求出。
「2020-02-17 省选模拟赛」序列 (seq)
- 倒序考虑 \(q\) 的组成。最后加入的数对可以通过分奇偶性区间极值得出。这样可以把原区间分为三个子区间，递归下去即可。子区间的数对必须在当前区间的数对之前选择，这样可以得到数对之间的偏序关系，求字典序最小的拓扑序即可。
「2020-02-17 省选模拟赛」进制 (hex)
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第一问，注意到十六进制数的长度不超过 \(15\)，预处理每种长度的数在序列中占多少长度可以判断位数。之后通过数位之间的整除、取模即可求得。
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第二问，求出第一问后相当于小于某个数的所有数做数位统计，数位 dp 即可。
「2020-02-17 省选模拟赛」矩阵 (matrix)
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设 \(f_{i,j}\) 表示有 \(i\) 行 \(j\) 列，其中每行都有涂黑的方案数。
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\(\text{ans} = \sum \dbinom{n}{i}f_{i,m}\)
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考虑两种转移：
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新增一列。\(f_{i,j} \xleftarrow{+} (\dbinom{j}2+j+1)f_{i,j-1}\)；
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新增一列，以及若干行。考虑原来某列第一个位置的上一个，和最后位置的下一个位置，和新增的 \(i-k\) 个位置一共形成 \(i-k+2\) 个位置。那么相当于在 \(i+2\) 个位置中选出 \(i-k+2\) 个位置填数。 \(f_{i,j} \xleftarrow{+} \dbinom{i+2}{i-k+2}f_{k,j-1}\)。转移是卷积的形式，NTT 即可。
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「2020-02-18 省选模拟赛」小 D 的奶牛 (cows)
- 先考虑 \(2^n\) 做法。记录每个点连出的点集，状压 dp 每个集合是否可行。
- 折半搜索。前一半需要统计子集中有多少个合法，可以 FWT；在后半搜索的时候直接求出对应的集合最大能是多少。
[「2020-02-21 省选模拟赛」遗迹探索 (strings) ]
一个串把中间的 SAD 计入答案后，只有前后缀两个字符有用，我们完全可以把信息压缩成：前缀 A 的出现次数，前缀 AD 的出现次数，后缀 S 的出现次数，后缀 SA 的出现次数。如果不存在单独的 A，则贡献是好算，注意一些串可能同时存在匹配的前后缀，要去除用的所有串都是同一类的情况。考虑单独的 A，枚举其被用了几个，把一些长度为 \(1\) 的前/后缀拼成长度为 \(2\) 的前/后缀即可
「2020-02-21 省选模拟赛」基因进化 (reverse)
对于可翻转前缀 \([1,i]\)，我们能从其最优答案推出下个可翻转前缀 \([1,j]\) 的最优答案。直接维护这个最优答案，需要支持头插入、尾插入、翻转字符串，使用 hash 二分判断字典序，双端队列维护 hash 值。
「2020-02-21 省选模拟赛」城市破坏 (disconnected)
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如何判断删去若干边之后，图能否被分成两个连通块？
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每条边随机一个权值，点权为相邻的边的边权的异或和，满足所有点权为 \(0\)。若删去的边的边权异或和为 \(0\)，则被分成两个连通块；否则不是。
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\(2^c\) 枚举删掉的边集，若异或和为 \(0\) 则不连通。
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关于边权，dfs 树上，非树边随机，树边构造即可。
「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的班级 (class)
如果人的位置确定，点 \(u\) 的父边最多能为 \(\min(siz_u, n-siz_u)\) 个点对产生贡献，并且显然可以取到上界。那么对所有方案计数只需分别枚举子树内男、女人数即可，直接做是 \(O(nm^2)\) 的。实际上只需要枚举子树内总人数即可。
[「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的环 (loop)]
倍长断环成链，如果相邻字符相同则这两个位置不会同时出现，这样就把字符串分割成若干段独立子串。删除长度为 \(k\) 的串，等价于保留长度为 \(n-k\) 的串；存在合法的长度为 \(k\) 的串，等价于 \(\exist i,s_{i} \ne s_{i+k-1}\)，显然补集转化，不存在合法的长度为 \(k\) 的串，等价于 \(\forall i,s_{i} = s_{i+k-1}\)，即存在长度为 \(len-k+1\) 的 border。求串的所有 border，kmp 即可。
[「2020-02-25 省选模拟赛」小 B 的农场 (farm) ]
分治，求所有跨过中线的答案。以竖中线为例，枚举上边界，线段树维护每个下边界的答案，则中线两边显然分别考虑，且可选长度自上而下构成一个逐渐“缩紧”的形状，用单调栈维护。注意边界。
注意到答案大等于 \(2\max(W,H)+2\)，所以只需要横着竖着各分治一次即可。
[「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的棋盘 (chess)]
无穷解当且仅当 \(k\ge n\)，比较显然。否则前 \(k+1\) 个点与后 \(k+1\) 个点至少存在一对匹配点，否则无法增加 \(k\) 个点使对称。枚举匹配点对，即可求出对称中心，暴力判断是否存在匹配点即可。可以排序后双指针优化常数。
[「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的夏令营 (camp)]
等价于相邻两行剩余区间有交。暴力 dp，设 \(f_{i,l,r}\) 表示考虑前 \(i\) 行，第 \(i\) 行剩余区间为 \([l,r]\) 的方案数，转移枚举上一行所有有交的区间，再乘上剩下 \([l,r]\) 的概率。需要优化状态。设 \(g_{i,j} = \sum \limits_{k\le j} f_{i,k,j}\)，发现 \(f\) 的转移方程可以用 \(g\) 表示，然后再求一个前缀和即可得到 \(g\) 的转移式，可以前缀和优化。
「2020-02-28 省选模拟赛」小 B 的图 (graph)
把询问离线下来排序。当 \(x\) 很充分小时，我们优先选用 \(k+x\) 的边；随着 \(x\) 增大，我们会选择把一些边替换成 \(k-x\) 的边。但是两种边使用的集合是不变的——一定是各自子图上最小生成树边。所以先求出 \(k+x\) 边的最小生成树，枚举每一条 \(k-x\) 边，维护路径上边权最大值，可以求出替换时的 \(x\) 值。注意到如果两条 \(k-x\) 边对应路径有交集，那么一定是 \(k\) 小的先替换，并且不会再被替换。所以替换后要在最小生成树上删除，边权赋成负无穷。LCT 维护最小生成树即可。
「2020-03-31 省选模拟赛」积性函数求和 (sum)
算法 1
\(f(p^k) = 2k+1\)，Min25 筛板子题。
算法 2
口胡的。
\(f(n) = \sum \limits_{d|n} \sum\limits_{p|n}[(p,d)=1] = \sum\limits_{t|n} \mu(t)\sigma_{0}^2(\dfrac{n}t)\)
\(\sum\limits_{i=1}^n f(i) = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{t|i} \mu(t)\sigma_{0}^2(\dfrac{i}t) = \sum\limits_{d=1}^n \mu(d) \sum\limits_{i=1}^{n/d}\sigma_{0}^2(i)\)
如果可以使用杜教筛求出 \(\sigma_0^2\) 的前缀和，那么由于我们只需要其在形如 \(\lfloor\dfrac{n}{x}\rfloor\) 处的前缀和，一遍杜教筛即可解决问题。感觉很对。
算法 3
搬运官方题解。
\(f(n) = \prod\limits_{i=1}^{k}(2\alpha_i+1) = \sum\limits_{S\subseteq\{1,2,3\dots ,k\}} 2^{|S|}\prod\limits_{i\in S} \alpha_i = \sum\limits_{d|n}2^{\omega({d})} = \sum\limits_{d|n}\sum\limits_{p|d}\mu^2(p)\)
所以
带回原式
有两个比较经典的结论
则 \(\sum \mu^2\) 和 \(\sum \sigma_0\) 的前缀和都可以在不超过 \(O(\sqrt n)\) 的时间复杂度内求出。因此可以预处理前 \(\sqrt n\) 个值，剩下的暴力做，复杂度分析和杜教筛是一样的。
「2020-03-31 省选模拟赛」游戏 (game)
先手必胜：对手存在一张牌，使得其比先手所有牌都小。
后手必胜：对于自己的每一张牌，都有一张先手的牌比它小。
剩下都是平局。
「2020-03-31 省选模拟赛」子串排列 (permutation)
把询问结点定位到后缀树上，建出虚树贪心。维护每个子树的答案，把所有子结点的答案按照字典序排序后加入，最后再加入当前子树根的串。排序直接暴力排（在这里想了挺久），重儿子长度不会计入，复杂度是对的。
