Mathematica做微积分
Mathematica做微积分
求极限
函数极限
计算函数极限的形式：Limit [ expr, x->x0]
求下列极限
\(\displaystyle(1) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a x)}{x}\)\(\displaystyle(2) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)\)
不是所有的函数都有确定的极限。例如 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin(1/x)\)，极限不存在，在 \(0\) 附近，函数在 \([-1, 1]\) 之间波动，Limit运算的结果是一个区间。
数列极限
数列的极限，可以用同样的形式进行计算。
计算数列的极限
\(\displaystyle(1) \lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})\)
\(\displaystyle(2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}}\)
递归定义的数列极限
设 \(x_1=\sqrt{2},x_n=\sqrt{2+x_{n-1}},\) 求 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.\)
单侧极限
Limit[expr, x -> x0] 计算 x → x0时函数 expr 的极限
Limit[expr, x -> x0, Direction -> 1] 计算x → x0时函数 expr 的左极限
Limit[expr, x -> x0, Direction -> -1] 计算x → x0时函数 expr 的右极限
计算下列极限：
\(\displaystyle(1) \lim _{{x} \rightarrow 0^{+}} \frac{\log ({x})}{{x}}\)
\(\displaystyle(2) \lim _{{x} \rightarrow \infty} \frac{\Gamma\left({x}+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{{x}} \Gamma({x})}\)
累次极限
从 Mathematica 语言的语法上说，Limit 函数自己不带对多个变量取极限的功能即不能计算重极限，可以计算累次极限。
计算 \(\displaystyle\lim _{y \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right)^{x^{2}}\)
还可以计算自变量沿某一固定路径趋向于固定点时，表达式的极限
渐近线
画出函数 \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-5)^2}{3(x+1)}\) 的斜渐近线。
函数f(x)的渐近线是指：当 \(x\to\infty\) 时，\(f(x)\) 无限接近某一直线 \(y=x+b\) 即 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} (f(x)-(a x+b))=0\)，需要用极限的思想确定参数a和b的值。
微商和微分
微商（导数）
计算导数的命令是 D[f, x] 和 D[f, {x, n}],分别表示 \(f'(x)\) 和 \(f ^{(n)}(x)\) 。
计算导数和偏导数是同一命令。
如果\(f\)是一元函数，D[f, x] 表示 \(\dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}x}\)；如果\(f\)是多元函数，D[f, x] 表示 \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\)
微商函数的常用形式如下：
| D[f, x] | 偏导数\(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) |
| D[f, x1, x2, …, xn] | 高阶偏导数\(\dfrac{\partial^{n} f}{\partial x_1 \partial x_ 2 \ldots \partial x_ n}\) |
| D[f, {x, n}] | \(n\)阶导数\(\dfrac{\partial ^n f}{\partial x^n}\) |
| D[f, x, NonConstants → {y1, y2, ..., ym}] | 复合函数偏导数\(\dfrac{\partial f}{\partial x},y_1,\cdots,y_m\)是\(x\)的函数 |
| D[f, {{x, y, z, ...}}] | 偏导向量\(\left(\dfrac{\partial {f}}{\partial {x}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {y}}, \dfrac{\partial {f}}{\partial {z}}, \ldots\right)\) |
求函数\(f(x)=\sin \left(x^2+\sqrt{x}\right)\)在\(x = 2\)处的导数
全微分
在Mathematica中，D[f, x] 计算变量为 f 关于 x 的偏导数，系统默认f 中的其它变量与 x无关；
Dt[f] 给出f的全微分形式
Dt[f, x] 给出f的全导数，系统默认 f 中所有变量是 x 的函数。
对于f中不依赖于 x 的常量，要用选项 Constants -> {常量1, 常量2, ...} 作出说明。
\(x, y\) 的函数关系由参数方程 \(x = 2 t ^2, y = \sin(t)\) 确定，求 \(y\) 关于 \(x\) 的二阶导数。
不定积分和定积分
不定积分
计算不定积分的命令是Integrate[f, x]，输出结果中省略积分常数。
计算二重积分的命令是Integrate[f, x, y]，积分的顺序是从右自左，先对变量y做积分计算，再对变量x做积分计算
Integreate主要计算只含有 "简单函数" 的被积函数。"简单函数" 包括有理函数、指数函数、对数函数、三角和反三角函数。
计算下列不定积分
\(\displaystyle(1) \int 3 {ax}^{2} \mathrm{d} {x}\)
\(\displaystyle(2) \int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \mathrm{d} x\)
\(\displaystyle(3) \int \sqrt{\cos x} \mathrm{d} x\)
\(\displaystyle(4) \int \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{d} x\)
Integrate可以计算形式上的积分
\(\displaystyle\int e^x(f(x)+f'(x)) \mathrm{d} x\)
Integrate可以计算分段函数积分
\[f(x)=\begin{cases}x \qquad x\geqslant1\\1\qquad x<1\end{cases}$$，求$\displaystyle\int f(x) \mathrm{d} x$ \]
Mathematica可以对向量值函数积分
Mathematica提供如Bessel函数、Gamma函数 和Beta函数等二三十个数学物理特殊函数可以用来表示积分结果。
\(\displaystyle\int e^{-x^2} \mathrm{d} x\)
Mathematica算不出结果的积分对被积函数做些化简外仍按Integrate形式输出
定积分
Integrate[f[x], {x, a, b}],可以计算 \(\displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x\) 的准确解
NIntegrate[f[x], {x, a, b}],可以计算 \(\displaystyle\int _a^b f(x) \mathrm{d} x\) 的数值解
多重积分
Integrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}],计算累次积分\(\displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y\)的准确解.
NIntegrate [f, {x, a, b}, {y, c, d}],计算累次积分\(\displaystyle\int _a^b \mathrm{d} x\int_c^df(x,y)\mathrm{d} y\)的数值解.
计算区域\(D\)上的二重积分 , \(D\)由 \(y = x\) 以及\(x\)轴, \(x = 1\) 围成. \(\displaystyle \iint_D\sin(x+2y) \mathrm{d} x\mathrm{d} y\)
计算\(\displaystyle\iiint_Vxy^2z^3\mathrm{d} x\mathrm{d} y\mathrm{d} z,\)其中\(V\)是由曲面\(z = xy, z = 0, y = x, x = 1\)围成。
计算两个圆柱体 \(x^2+y^2=1,x^2+z^2\leqslant 1\) 相交部分的体积。
计算曲线积分\(\displaystyle\int _L x^2+x\cos x \mathrm{d} s，L\) 是单位圆。
计算单位球面面积
级数
幂级数展开
Series[expr, {x, x0, n}] 将expr在x = x0点展开到n阶的幂级数
Series[expr, {x, x0, n}, {y, y0, m}]先对y展开到m阶再对x展开n阶幂级数
展开式中可能将分数指数，对数函数等作为基本元素。
Series命令可以计算无界函数在瑕点的洛朗展开式,展开式的最高次数可以是负数。
Series命令可以计算函数在无穷远点的洛朗展开式
幂级数计算
幂级数求和
无穷乘积
求幂级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\) 的收敛域与和函数。
检查端点是否收敛
两个端点都是发散点。收敛域（-1,1）
给出幂级数中某一项的系数
SeriesCoefficient[f, n] 级数f中x^n的系数
SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}] 函数f在x0的展开式中 (x - x0)^n的系数
反函数级数
InverseSeries[s, {x, x0, n}] 给出级数s的反函数的幂级数展开式
幂级数复合
ComposeSeries[s1, s2] 表示用幂级数s2代换幂级数s1中的变量x
Fourier级数
对于以2L为周期的函数，要用 FourierParameters->{1,2Pi/L} 说明
正弦级数与余弦级数
FourierSinSeries[f[x], x, n] f[x]是以2π为周期的函数，在[-π,π]上是奇函数
FourierCosSeries[f[x], x, n] f[x]是以2π为周期的函数，在[-π,π]上是偶函数
若函数周期不是2π，同样用FourierParameters说明
微分方程
求解常微分方程
求解常微分方程和常微分方程组的一般形式：
DSolve[eqns, y[x], x] 解y(x)的微分方程或方程组 eqns，x为变量。
DSolve[eqns, y, x] 在纯函数的形式下求解
一般一个一阶线性微分方程都可以通过积分运算求解，但是如果方程的个数大于1，或阶数大于2，求解就没有固定的方法，一些简单的二阶线性方程的解被当做特殊函数来表示其它方程的解。
一些特殊类型的二阶线性微分方程可能有形式简单的解
三阶以上的方程只有极少的方程能够被解出
求解初值问题\(\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 x^{2}-2=0, y(-1)=0, y^{\prime}(-1)=0\)
纯函数形式的解可以代入微分的运算 DSolve[eqns,y,x]
求解偏微分方程
求解偏微分方程的命令是
DSolve[eqn, y, {x1, x2, ..}]
DSolve[eqns, {y1,y2,..}, {x1, x2, ..}]
求解偏微分方程$$\frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x}
_1}+\frac{\partial y({x} _1, {x} _2)}{\partial {x} 2}=\frac{1}{{x} 1x_2}$$
求解调和方程\(u_{xx}+u_{yy}=0\)
