初等函数运算
初等函数运算
多项式运算
多项式的基本运算
多项式的基本代数运算有加法、减法、乘法、除法、模运算
给定两个单变量多项式a(x) 和b(x)，存在唯一的多项式 q(x) 和 r(x) 使得 a(x)=b(x)q(x)+r(x)。
| 函数 | 作用 |
|---|---|
PolynomialRemainder |
两个多项式相除的余式 |
PolynomialQuotientRemainder |
同时给出两个多项式相除的商式和余式 |
PolynomialQuotient |
两个多项式相除的商式 |
最后一个变量表示按照 x 的幂次排列。
多项式元素提取
PolynomialQ[expr,x] 或 PolynomialQ[expr,{x,y,...}]检验expr是否关于变元x,y,...的多项式
Variables[poly] 多项式poly的变元列表
Coefficient[poly,x,n] 多项式poly中x^n项的系数，n缺省值为1
CoefficientList[poly,x] 或 CoefficientList[poly,{x,y,...}] 多项式poly关于变元x,y,...的系数列表
在展开 \((x + y + z)^6\) 后 ， \(x^{2} y z^3\) 项的系数是?
多项式展开与合并
Expand[expr] 展开表达式expr中的乘积和正整数方幂，按照幂次由低至高的顺序，将表达式展开成为单项之和
ExpandAll[expr] 展开表达式expr中的乘积和整数方幂
PowerExpand[expr,x] 或 PowerExpand[expr,{x,y,...}] 展开表达式expr中与变元x或{x,y,...}有关的乘积的方幂,例如对数，开方表达式中的嵌套幂次
ExpandNumerator[expr] 展开表达式expr中的分式的分子
ExpandDenominator[expr] 展开表达式expr中的分式的分母
展开多项式 \((x+2y+1)^2\)
比较
Expand[ ],ExpandAll[ ],PowerExpand[ ]的区别
分别展开表达式 $$t=\frac{1-x}{(x+1)2}+\frac{(x+1)2}{x(1-x)}$$ 中的分子和分母的多项式.
Collect[expr,x] 或 Collect[expr,{x,y,...}] 合并表达式expr中与变元x或{x,y,...}有关的同类项
Apart[expr,x] 把表达式expr写成部分分式之和的形式
ApartSquareFree[expr] 把表达式expr写成部分分式之和的形式，其中分母是无重根多项式的方幂的形式
Cancel[expr] 约分表达式expr中的分式
Together[expr] 通分表达式expr中的分式
展开 \((x + a + 2)^4\), 按 \(x\) 的幂次合并同类项.
将有理式 \(t=\dfrac{x^{2}}{1-2 x^{2}+x^{4}}\) 展开成部分分式的和.
求 \(\dfrac{2 x+1}{5 x-7}, \dfrac{x-2}{3 x+2}, \dfrac{x^{2}}{x^{2}+3}\)的和，分子分母都是展开形式.
约分 \(\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{3}-y^{3}}\)
多项式因式分解
Factor[poly] 在整数环上分解多项式
FactorSquareFree[poly] 提出多重因式
FactorTerms[poly,x] 或 FactorTerms[poly,{x,y,...}] 分解poly为常数与本原多项式乘积的形式，x或{x,y,...}缺省为所有变元
FactorList[poly] poly的不可约因子及其方幂列表
FactorSquareFreeList[poly] poly的无重根因子及其方幂列表
对多项式 \(16 - 32 x - 8 x^2 + 28 x^3 - 3 x^4 + 9 x^5\) 作因式分解
多项式组公因式与公倍式
PolynomialGCD[p1,p2,...] 多项式组{p1,p2,...}的最大公因式
PolynomialLCM[p1,p2,...] 多项式组{p1,p2,...}的最小公倍式
PolynomialExtendedGCD[f,g,x] 一元多项式f(x)和g(x)的扩展最大公因式
语句 PolynomialExtendedGCD[f,g,x] 返回一个形如{h,{a,b}}的列表，其中a和b都是关于变元x的有理式，h是f和g的最大公因式，并且满足h=af+bg
三角函数运算
Expand、Cancle、Together 等也适用于三角函数运算，但运算过程中并没有用三角函数公式进行简化, 函数中设置 Trig->True 选项，使之可以将三角函数恒等式与这些运算结合起来.
Trig -> True 同样适用于双曲函数
适用于三角函数的特殊函数
TrigExpand[expr]三角函数和差化积
TrigFactor[expr]三角函数因式分解
TrigFactorList[expr]三角函数因子列表
TrigReduce[expr]三角函数积化和差
TrigToExp[expr]化三角函数为指数函数
ExpToTrig[expr]化指数函数为三角函数
求和并化简 \(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\tan x\)
构造 \(\sin(nx),\cos(nx)\) 的 \(n\) 倍角公式表,\(n=2,3,4\)
表达式化简
Simplify[expr] 化简表达式expr
Simplify[expr,assum] 依据假设assum化简表达式expr
FullSimplify[expr] 深入化简表达式expr
FullSimplify[expr,assum] 依据假设assum深入化简表达式expr
Assuming[assum,expr] 依据假设assum执行表达式expr
解方程运算
方程的表示
- 方程通常表示为: ”lhs==rhs”------逻辑表达式.
- 方程组通常表示为 {eqn1,eqn2,...} 或 eqn1 && eqn2 &&
- 将方程中的等号”==”换成不等号”<”, “>”,”<=”, “>=”, “!=”就得到不等式
- 方程和不等式也可以被展开、合并、或化简
Eliminate[eqns,vars] 将方程组eqns中的部分变元消去
一般方程的求解
Solve[eqns,vars] 求方程（组）eqns的所有准确解vars,方程中只有一个未知量时，vars可不写。
求解方程组 $$ \begin{cases} 2x+3y=7 \\ 3x+4y=10 \end{cases} $$
1.如果要利用方程的解代入表达式求值，可直接用取代运算符/.
2.方程的解以列表形式给出，可以用Part提取列表元素.
求解方程组$$ \begin{cases} x^2+y=4\\ 2x-y=1 \end{cases} $$ 并计算表达式\(\sqrt{x^2+y^2}\) 在这些解上的值.
计算方程 \(-735+1337 x-778 x^{2}+198 x^{3}-23 x^{4}+x^{5}=0\) 所有根的平方和.
NSolve[eqns, vars] 求方程eqns的所有数值解vars
NSolve[eqns, vars,n] 求方程eqns的所有数值解vars, 达到n位精度
Roots[eqn, var] 求一元多项式方程eqn的所有准确解var
NRoots[eqn, var] 求一元多项式方程eqn的所有数值解var
Root[f,k] 求一元多项式f的第k个根
FindRoot[f,{x,a}] 以a为初值，求函数f(x)的一个根x
FindRoot[eqns,{x,a}] 以a为初值，求方程eqns的一个解x
求解方程 \(\sin x=x^2-1\)
求方程 \(x \cdot \sin x=1\) 在区间 \([-10，10]\) 上的解。
求方程组 $$ \begin{cases}e^x+\ln y=2\\ \sin x+\sin y=1 \end{cases} $$的近似解.
Reduce[expr, vars, dom] 化简方程或不等式expr并求所有解vars
FindInstance[expr, vars, dom, n] 求方程或不等式expr的n个特解vars
递归方程的求解
RecurrenceTable[eqns, expr, nspec] 由递归关系eqns求表达式expr生成的数列
RSolve[eqns, a[n], n] 由递归关系eqns求数列an的通项公式
