波利亚计数

波利亚计数

由于对于波利亚计数的证明，在实际的应用当中并不是非常的重要。在此只是详细的说明这个定理在实际的染色问题当中的应用方式。

使用一个例子来加以说明这个问题，对于四个方格使用2种颜色进行染色，并且如果进行旋转和反转之后，得到的染色是一样的，则认为是一种染色方案。

1、旋转0度 $G_{1}$

(1)(2)(3)(4)

2、旋转90度$G_{2}$

(1,4,3,2)

3、旋转180度$G_{3}$

(1,3)(2,4)

4、旋转270度$G_{4}$

(1,2,3,4)

5、上下翻转$G_{5}$

(1,4)(2,3)

6、左右翻转$G_{6}$

(1,2)(3,4)

这6个置换可以组成一个置换群

$G={G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5},G_{6}}$

那么总的染色个数是

$\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}2^{loop(G_{i})}$

 其中$loop(G_{i}$中循环节的个数，比如$G_{1}$的循环节个数为4，$G_{4}$的循环节的个数为1。

其他的类似的染色问题都可以使用同样的方式来解决，为什么可以使用这种方式来解决，需要使用burnside定理，具体的证明，看以查看[1][2]

 

[1] http://wenku.baidu.com/link?url=CDNFv_tcrWhBwCMEreTCY9p6g76ZyoDvPxtH4C7bS2RtDlpE04bUXCDdsmCMA8oTwguSgcLAG7ZHkYj3cM1TNvYXwlHU3DljKz1HSeZI9cG

[2] http://wenku.baidu.com/link?url=-wVVcy22C9UU7_Bs0NRU-zGDqY4UVAMV78JfayHwA0c1-Y0xxW9mSG3OQQTZJH2EQ_P_7Rh3F40jwl--shd3veMgGSK4bloEBT7S8_veGTm