矩阵 [最小割]

题面

思路

这是一类套路题，相似的套路是这道题

具体而言，为了体现选择1到9中某一个数只能选一个，并且每个有自己的不同贡献，我们把每个格子拆成10个点，其中九个点分别代表1-9，一个点作为“缓冲点”

然后把S-T中间连上这n*m条链

然后，本题中的另外一个限制是相邻的两个格子和不超过给定值，这里需要在相邻格子对应的链之间连边

具体而言，我们需要这样分配不同的链：

我们把原图的矩阵黑白染色

对于黑色格子对应的链（简称黑色链），连法是：

$S-9-8-7-6-5-4-3-2-1-0-T$

对于白色链则是：

$S-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-T$

其中编号为$i$的点的入边边权为$10-i$，0号点的入边边权为inf

之所以这里是$10-i$，是因为本题如果用割的角度思考的话，应该要求的是最大割，这里把边权反过来就可以求最小割了

对于两个相邻的黑白格子$(u,v)$，设限制为$k$，那么如此连边：

对于所有的$(i+j)=k$，连边$(v,j)->(u,i)$，边权为inf

此处$(v,j)$表示$v$的链上编号为$j$的点

画个图大概就是这样：

这里展示的是$k=12$时的情况

注意所有的边都是白色链往黑色链连的

这样连的意义何在呢？

我们考虑一种情况：在上面的那个图里我们选择割掉0809之间的边，它的边权是10-8=2

那么，此时如果我们在白色链上割掉的是14以后的边，那么仍然存在一条从S到14到08到T的路径，这并不是一个合法的割

所以，我们的算法为了最小化割值，会选择14以前的边

这样我们就达成了我们需要的和值限制

于是我们这样连边以后，跑一个S-T最小割，再用nm10减去这个最小割，就得到了可能的最大和值

Code

#include<iostream>
#include<cassert>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define id(i,j,k) num[i][j][k]
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,m,d[110][110],r[110][110],num[110][110][10],first[50010],cnte=-1;
struct edge{
    int to,next,w;
}a[200010];
inline void add(int u,int v,int w){
    if(w<=10) w=10-w;
    a[++cnte]=(edge){v,first[u],w};first[u]=cnte;
    a[++cnte]=(edge){u,first[v],0};first[v]=cnte;
}
int dep[50010],cur[50010],q[50010],head,tail;
bool bfs(int s,int t){
    int i,u,v;head=0,tail=1;
    for(i=s;i<=t;i++) dep[i]=-1,cur[i]=first[i];
    dep[s]=0;q[0]=s;
    while(head<tail){
        u=q[head++];
        for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
            v=a[i].to;if(~dep[v]||!a[i].w) continue;
            dep[v]=dep[u]+1;q[tail++]=v;
        }
    }
    return ~dep[t];
}
int dfs(int u,int t,int lim){
    if(u==t||!lim) return lim;
    int i,v,f,flow=0;
    for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
        v=a[i].to;
        if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,t,min(lim,a[i].w)))){
            a[i].w-=f;a[i^1].w+=f;
            flow+=f;lim-=f;
            if(!lim) return flow;
        }
    }
    return flow;
}
int dinic(int s,int t){
    int re=0;
    while(bfs(s,t)) re+=dfs(s,t,1e9);
    return re;
}
int main(){
    memset(first,-1,sizeof(first));
    n=read();m=read();int i,j,k,s=0,t=n*m*10+1;
    for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) for(k=0;k<=9;k++) num[i][j][k]=k*n*m+((i-1)*m+j);
    for(i=1;i<n;i++) 
        for(j=1;j<=m;j++) 
            d[i][j]=read();
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<m;j++)
            r[i][j]=read();
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++){
            if((i+j)%2){
                //9->0
                add(s,id(i,j,0),1e9);add(id(i,j,0),id(i,j,9),9);
                for(k=8;k>=1;k--) add(id(i,j,k+1),id(i,j,k),k);
                add(id(i,j,1),t,1e9);
                for(k=9;k>=1;k--){
                    //limit from former nodes
                    if((i>1)&&(d[i-1][j]-k<=9)) add(id(i-1,j,max(0,d[i-1][j]-k)),id(i,j,k),1e9);
                    if((j>1)&&(r[i][j-1]-k<=9)) add(id(i,j-1,max(0,r[i][j-1]-k)),id(i,j,k),1e9);
                    //limit to latter nodes
                    if((i<n)&&(d[i][j]-k<=9)) add(id(i+1,j,max(0,d[i][j]-k)),id(i,j,k),1e9);
                    if((j<m)&&(r[i][j]-k<=9)) add(id(i,j+1,max(0,r[i][j]-k)),id(i,j,k),1e9);
                }
            }
            else{
                add(s,id(i,j,0),1e9);
                for(k=1;k<=9;k++) add(id(i,j,k-1),id(i,j,k),k);
                add(id(i,j,9),t,1e9);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",n*m*10-dinic(s,t));
 }