[bzoj3813] 奇数国 [线段树+欧拉函数]

题面

传送门

思路

这题目是真的难读......阅读理解题啊......

但是理解了以后就发现，题目等价于：

给你一个区间，支持单点修改，以及查询一段区间的乘积的欧拉函数值，这个答案对19961993取模

这里是欧拉函数的原因显然，题目中的那个不相冲实际上就是扩展欧几里得里面的那个定理，要满足不相冲（也就是方程有解），$product$和$number$必须互质

序列当中，每个元素大小不超过1e6，质因数都是前60个

那么我们显然可以开一棵线段树来维护这个区间乘积，但是怎么处理欧拉函数呢？$O(\sqrt{n})$的复杂度求吗？但是这题可以到$1000000^{100000}$诶......

没关系，我们来看一个神秘小技巧

设一个数$x=\prod_{i=1}^{k}p_i$，那么：

$\varphi(x)=\prod_{i=1}^{{k}(p_i-1)p_i}=x\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$

那么我们再开一棵线段树，把60个质因数在对应区间里的出现情况压进一个long long里面

每次查询的时候，查询出来取模过的乘积，再对每个出现过的质因数乘上模意义下的$\frac{p_i-1}{p_i}$，就是答案了

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#define ll long long
#define mp make_pair
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
const ll MOD=19961993;
ll qpow(ll a,ll b){
	ll re=1ll;
	while(b){
		if(b&1) re=re*a%MOD;
		a=a*a%MOD;b>>=1;
	}
	return re;
} 
int vis[310],pri[70],cntp,inv[70];
void init(){
	int i,j,k;vis[1]=1;
	for(i=2;i<=281;i++){
		if(!vis[i]) pri[++cntp]=i,inv[cntp]=qpow(i,MOD-2);
		for(j=1;j<=cntp;j++){
			k=i*pri[j];if(k>281) break;
			vis[k]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}
ll a[400010],bit[400010];//a是乘积，b是压位的质因数状态
void update(int num){
	int son=num<<1;
	a[num]=a[son]*a[son+1]%MOD;
	bit[num]=bit[son]|bit[son+1];
}
void build(int l,int r,int num){
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l==r){
		a[num]=3;bit[num]=2;return;
	}
	build(l,mid,num<<1);build(mid+1,r,(num<<1)+1);
	update(num);
}
void change(int l,int r,int num,int pos,ll val){
	int mid=(l+r)>>1,i;
	if(l==r){
		a[num]=val;bit[num]=0;
		for(i=1;i<=60;i++) if(val%pri[i]==0) bit[num]|=(1ll<<(i-1));
		return;
	}
	if(mid>=pos) change(l,mid,num<<1,pos,val);
	else change(mid+1,r,(num<<1)+1,pos,val);
	update(num);
}
pair<ll,ll> query(int l,int r,int ql,int qr,int num){
	int mid=(l+r)>>1;pair<ll,ll>re=mp(1,0),tmp;
	if(l>=ql&&r<=qr) return mp(a[num],bit[num]);
	if(mid>=ql){
		tmp=query(l,mid,ql,qr,num<<1);
		re.first=re.first*tmp.first%MOD;
		re.second|=tmp.second;
	}
	if(mid<qr){
		tmp=query(mid+1,r,ql,qr,(num<<1)+1);
		re.first=re.first*tmp.first%MOD;
		re.second|=tmp.second;
	}
	return re;
}
int main(){
	int n=read(),i,t1,t2,t3;build(1,100000,1);pair<ll,ll>tmp;
	init();
	while(n--){
		t1=read();t2=read();t3=read();
		if(t1) change(1,100000,1,t2,t3);
		else{
			tmp=query(1,100000,t2,t3,1);
			for(i=1;i<=60;i++) 
				if(tmp.second&(1ll<<(i-1)))
					tmp.first=tmp.first*(pri[i]-1)%MOD*inv[i]%MOD;
			printf("%lld\n",tmp.first);
		}
	}
}