[luogu1707] 刷题比赛 [矩阵快速幂]

题面：

传送门

思路：

一眼看上去是三个递推......好像还挺麻烦的

仔细观察一下，发现也就是一个线性递推，但是其中后面的常数项比较麻烦

观察一下，这里面有以下三个递推是比较麻烦的

第一个是$k^2$到$\left(k+1\right)^2$，这一步可以把$\left(k+1\right)^2$展开，变成$k^2+2k+1$

第二、三个是$w$和$z$的递推，这个就直接在转移矩阵里面乘以一个自己就好了

所以我们可以构建这样的状态矩阵：

$\begin{bmatrix}a\lbrack i\rbrack&a\lbrack i+1\rbrack&b\lbrack i\rbrack&b\lbrack i+1\rbrack&c\left[i\right]&c\left[i+1\right]&k^2&k&w&z&1\end{bmatrix}$

转移矩阵见代码

最后快速幂就解决了

 

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mx 1e16
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
ll n,MOD;
inline ll pmul(ll l,ll r){
    ll re=0;if(l<r) swap(l,r);
    while(r){
        if(r&1){
            re+=l;
            if(re>mx) re%=MOD;
        }
        r>>=1;l=l+l;if(l>mx) l%=MOD;
    }
    return re%MOD;
}
struct ma{
    ll a[20][20],n,m;
    ma(){memset(a,0,sizeof(a));n=m=0;}
    void clear(){memset(a,0,sizeof(a));n=m=0;}
    const ma operator *(const ma &b){
        ma re;re.n=n;re.m=b.m;ll i,j,k;
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=1;j<=b.m;j++){
                for(k=1;k<=m;k++){
                    re.a[i][j]+=pmul(a[i][k],b.a[k][j]);
                    re.a[i][j]%=MOD;
                }
            }
        }
        return re;
    }
    const void operator =(const ma &b){
        n=b.n;m=b.m;ll i,j;
        for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) a[i][j]=b.a[i][j];
    }
}A,B,ans;
//A={a[k],a[k+1],b[k],b[k+1],c[k],c[k+1],k^2,k,w^k,z^k,1}
/*
matrix B
0 q 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 p 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 u 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 v 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 y 0 0 0 0 0
0 r 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 t 0 0 0 1 2 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 w 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 z 0
0 1 0 0 0 2 1 1 0 0 1
*/
ma ppow(ma x,ma y,ll t){
    while(t){
        if(t&1) x=x*y;
        y=y*y;t>>=1;
    }
    return x;
}
int main(){
    n=read();MOD=read();
    ll p=read(),q=read(),r=read(),t=read(),u=read(),v=read(),w=read(),x=read(),y=read(),z=read();
    A.n=1;A.m=11;
    A.a[1][1]=1;A.a[1][2]=3;A.a[1][3]=1;A.a[1][4]=3;A.a[1][5]=1;A.a[1][6]=3;
    A.a[1][7]=A.a[1][8]=A.a[1][11]=1;A.a[1][9]=w;A.a[1][10]=z;
    B.n=B.m=11;
    B.a[2][1]=1;B.a[4][3]=1;B.a[6][5]=1;B.a[11][11]=1;
    B.a[2][2]=p;B.a[1][2]=q;B.a[4][2]=1;B.a[6][2]=1;B.a[7][2]=r;B.a[8][2]=t;B.a[11][2]=1;
    B.a[4][4]=u;B.a[3][4]=v;B.a[2][4]=1;B.a[6][4]=1;B.a[9][4]=1;
    B.a[6][6]=x;B.a[5][6]=y;B.a[2][6]=1;B.a[4][6]=1;B.a[10][6]=1;B.a[8][6]=1;B.a[11][6]=2;
    B.a[7][7]=1;B.a[8][7]=2;B.a[11][7]=1;
    B.a[8][8]=1;B.a[11][8]=1;
    B.a[9][9]=w;B.a[10][10]=z;
    ans=ppow(A,B,n-1);
    printf("nodgd %lld\nCiocio %lld\nNicole %lld\n",ans.a[1][1],ans.a[1][3],ans.a[1][5]);
}