[usaco jan 09] 安全路径 travel [最短路径树]

题面：

传送门

思路：

既然最后一条边不能走，那么就一定是换了一条路，一条不经过这最后一条边的路

如果想要这条路最短，那么其在路上一定尽可能多地走了最短路径

因此，我们对这张图跑一遍从1开始的单源最短路，并建立出最短路径树

那么新的路径(1->u)一定是这样构成的：(1->v)+edge(v,w)+(w->u)，其中w是u在最短路径树上的后代

那么，我们对于每一条非树边(u,v)，其树上路径上所有点（除了lca）的答案，都可以被dis[u]+dis[v]+w(u,v)-dis[路径上的点]来更新

然而，直接每一次这样更新，时间效率肯定不行

对上述的结论进一步分析，可以发现，实际上dis[u]+dis[v]+w(u,v)对于每条非树边(u,v)固定

因此可以把dis[u]+dis[v]+w(u,v)排序，对于每一条非树边依次操作，并且使用并查集来跳过已经更新过得边

总时间复杂度：dij O(nlogn)，排序 O(mlogm) 更新答案 O(n)

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
struct edge{
    int to,w,next;
}e[400100];
struct new_edge{
    int from,to,w;
}x[400100];
struct node{
    int num,fa;
    vector<int>son;
}a[100100];
int n,m,first[100100],pre[100100],dis[100100],f[100100],ans[100100];
bool vis[100100];
void spfa(){
    int i,u,v,w;
    queue<int>q;memset(dis,127,sizeof(dis));
    q.push(1);pre[1]=1;dis[1]=0;
    while(!q.empty()){
        u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(i=first[u];~i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;w=e[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;pre[v]=u;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;q.push(v);
                }
            }
        }
    }
}
bool cmp(new_edge l,new_edge r){
    return l.w<r.w;
}
int find(int x){
    return ((f[x]==x)?x:f[x]=find(f[x]));
}
int aa[200100],bb[200100],cc[200100];
int main(){
    freopen("travel.in","r",stdin);
    freopen("travel.out","w",stdout);
    memset(first,-1,sizeof(first));
    memset(ans,-1,sizeof(ans));
    int i,j,t1,t2,t3,l,r;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
        e[i*2-1].to=t2;e[i*2-1].next=first[t1];e[i*2-1].w=t3;first[t1]=i*2-1;
        e[i*2].to=t1;e[i*2].next=first[t2];e[i*2].w=t3;first[t2]=i*2;
        aa[i]=t1;bb[i]=t2;cc[i]=t3;
    }
    spfa();
//    for(i=1;i<=n;i++) cout<<pre[i]<<ends<<dis[i]<<endl;
//    for(i=1;i<=m;i++) cout<<aa[i]<<ends<<bb[i]<<ends<<cc[i]<<endl;
//    cout<<"end of spfa"<<endl;
    for(i=1;i<=n;i++){
        a[i].num=i;f[i]=i;
        a[i].fa=pre[i];
        if(i!=1) a[pre[i]].son.push_back(i);
    }
    int cnt=0;
    for(i=1;i<=m;i++){
        if(pre[aa[i]]==bb[i]||pre[bb[i]]==aa[i]) continue;
//        cout<<aa[i]<<ends<<bb[i]<<ends<<cc[i]<<endl;
        x[++cnt].from=aa[i];x[cnt].to=bb[i];x[cnt].w=dis[aa[i]]+dis[bb[i]]+cc[i];
    }
//    cout<<"end2"<<endl;
    sort(x+1,x+cnt+1,cmp);
    for(i=1;i<=cnt;i++){
        l=find(x[i].from);r=find(x[i].to);
        while(l!=r){
            if(dis[l]<dis[r]) swap(l,r);
            ans[l]=x[i].w-dis[l];
            f[l]=pre[l];l=find(l);
        }
    }
    for(i=2;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}