省选算法学习·一些数列相关的数学知识 [数学]

数列求和

等比数列：$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

这个玩意儿的应用在于算一些期望的时候，$n$因为无限循环会趋于$inf$，所以若$q\le 1$，就会变成$S=\frac{a_1}{1-q}$这样子

等差数列：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

递推方程求数列通项公式

基础的叠加、叠乘什么的不讲了

待定系数（高考基础）

Type 1

$a_n=pa_{n-1}+q$

把$q$分一点到左边来，变成$a_n+x=p(a_{n-1}+x)$

其中有$(p-1)x=q$

Type 2

$a_n=pa_{n-1}+f(n)$

实际上是Type 1的一般形式，只需要一样挪一点来左边就好了

Type 3

$a_n=pa_{n-1}^r(r\neq 1,r\neq 0)$

两边同时取对数即可

$\log a_n=r\log a_{n-1}+\log p$

特征根（高考基础）

Type 1

$a_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$

这种的典型例子就是斐波那契数列：$1,1,2,3,5,8,13,21......$

对于这种数列，它的特征方程为$x^2-px-q=0$

设其两解为$x_1,x_2$，则其通项公式为$a_n=Ax_1^n+Bx_2n$的形式

其中的$A,B$需要代入前两项解出来

不动点（数竞基础）

Type 1

$a_n=\frac{ra_{n-1}+s}{pa_{n-1}+q}$

我们把数列看做离散的函数，考虑这个函数的不动点$x=\frac{rx+s}{px+q}$，即$px^2+(q-r)x-s=0$

设其两解为$x_1,x_2$，分两解相同和不同两种情况考虑：

1. 两解相同，则有$\frac{1}{a_n-x_1}=\frac{1}{a_{n-1}-x_1}+\frac{2p}{r+q}$

2. 两解不同，则有$\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}=\frac{r-px_1}{r-px_2}\frac{a_{n-1}-x_1}{a_{n-1}-x_2}$

这样就可以求出对应的等比数列通项，再推出$a_n$的通项

注意点

实际上，上述三种方法都是基于待定系数的方程代还，也就是待定系数的Type 1。考场上遇到懵逼的情况，可以考虑从待定系数Type 1出发现推一下，用不了多久的