斜率dp+cdq分治

写在前面

这个东西应该是一个非常重要的套路......所以我觉得必须写点什么记录一下，免得自己忘掉了

一直以来我的斜率dp都掌握的不算很好......也很少主动地在比赛里想到

写这个的契机是noi.ac在今天的考试中考了一道用这玩意儿的原题，被我搞出来了，于是决定总结一下（毕竟见得越来越多）

斜率dp

考虑一个常见的二次复杂度的dp：

$dp[i]=min(dp[j]+c(i)+g(j)+k(i)*f(j))$

其中$c,g,k,f$都是只和括号里的$i,j$有关的一元函数

一个很重要的思想是：看到n方dp的时候先想想能不能搞成这个样子的式子

如果搞出来了，这个东西一定可以在$O(n\log n)$的时间里面做出来——用cdq分治

怎么cdq

我们先给这四个函数名字：

$c(i)$是额外附加的只和$i$有关的常数

$f(i)=x(i)$作为横坐标

$g(i)=y(i)$作为纵坐标

$k(i)$是$i$这一点上的转移斜率

首先把所有点按照斜率排序

对于过程solve(l,r)，这样操作：

首先，按照输入编号，把(l,r)分成两半，然后递归处理solve(l,mid)

返回的是一个按照横坐标排好序的原数组（dp值都知道了的）

我们把这一批东西做一个上凸包（或者下凸包，依照要求max还是min变化）

然后对于后面那一半点我们用前面这个凸包更新答案，一个指针遍历右边一半，另一个指针遍历左边的凸包，每次跳到最优位置为止

这之后，我们递归处理右半部分

最后我们再对这两半归并排序，按照横坐标

什么意义？

实际上这一波操作中，有三个中间被我们排了序的元素：输入编号，斜率，横坐标

实际上就是一个三维偏序：因为不像普通的斜率dp那样横纵坐标或者斜率有单调性，所以我们强行cdq

这样，在每一次更新后一半的时候，前一半都是做完的，而且已经横坐标单调了

例题：2019.3.16 problemB

朴素n方dp很好看出来，然后发现可以直接套到上面式子里面

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#define head DEEP_DARK_FANTASY
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
int n;;
struct node{
	ll w,h,c,x,y,k,dp,num;
}a[100010],tmp[100010],q[100010];
inline bool cmp1(node l,node r){
	return l.k<r.k;
}
void solve(int l,int r){
	if(l==r){
		a[l].x=a[l].h;
		a[l].y=a[l].dp-a[l].w+a[l].h*a[l].h;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1,tl,tr,head,tail,i;

	tl=tr=0;
	for(i=l;i<=r;i++){
		if(a[i].num<=mid) tmp[++tl]=a[i];
		else q[++tr]=a[i];
	}
	for(i=l;i<=mid;i++) a[i]=tmp[i-l+1];
	for(i=mid+1;i<=r;i++) a[i]=q[i-mid];

	solve(l,mid);
	
	head=1,tail=0;
	for(i=l;i<=mid;i++){
		while(tail>head&&(q[tail].y-q[tail-1].y)*(a[i].x-q[tail].x)>=(q[tail].x-q[tail-1].x)*(a[i].y-q[tail].y)) tail--;
		q[++tail]=a[i];
	}
	
	tl=1;
	for(i=mid+1;i<=r;i++){
		while(tl<tail&&a[i].k*(q[tl+1].x-q[tl].x)>=(q[tl+1].y-q[tl].y)) tl++;
		a[i].dp=min(a[i].dp,-q[tl].x*a[i].k+q[tl].y+a[i].c);
	}

	solve(mid+1,r);
	
	tl=l;tr=mid+1;head=0;
	while(tl<=mid&&tr<=r){
		if(a[tl].x==a[tr].x) tmp[++head]=((a[tl].y>a[tr].y)?a[tr++]:a[tl++]);
		else tmp[++head]=((a[tl].x>a[tr].x)?a[tr++]:a[tl++]);;
	}
	while(tl<=mid) tmp[++head]=a[tl++];
	while(tr<=r) tmp[++head]=a[tr++];
	for(i=l;i<=r;i++) a[i]=tmp[i-l+1];
}
int main(){
	n=read();int i;
	for(i=1;i<=n;i++){
		a[i].h=read();
		a[i].dp=1e18;
		a[i].num=i;
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		a[i].w=read();
		a[i].w+=a[i-1].w;
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		a[i].c=a[i].h*a[i].h+a[i-1].w;
		a[i].k=2ll*a[i].h;
	}
	a[1].dp=0;
	sort(a+1,a+n+1,cmp1);
	solve(1,n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(a[i].num==n) printf("%lld\n",a[i].dp);
}