技术背景
在前面一篇文章中我们介绍了欧拉角死锁问题的一些产生背景,还有基于四元数的求解方案。四元数这个概念虽然重要,但是很少会在通识教育课程中涉及到,更多的是一些图形学或者是工程学当中才会进行讲解。本文主要是面向四元数,相比上一篇文章更加详细的介绍和总结一下四元数的一些运算法则,还有基于四元数的插值法。
基本运算
说到四元数,很多人可能会觉得有点陌生,但是如果说复数,很多人就都有学习过。我们一般用z=x+iy这样的形式去定义一个复数(Complex Number),其中x是实部,而y是虚部,i是虚数单位,并且有i2=−1这样的特性。并且对于一个虚数而言,如果取自然指数(运算规则为:eiθ=cosθ+i sinθ),还能够得到一个很美的数学公式:eiπ=−1,这就是非常著名的欧拉公式。
而四元数Quaternion这个概念的提出,更像是对复数的一个扩展,我们通常把四元数写成这样的形式:
q=s+ix+jy+kz
其中s,x,y,z都是实数,并满足这样的一些运算规则:
i2=j2=k2=ijk=−1i×j=k,j×k=i,k×i=jj×i=−k,k×j=−i,i×k=−j
以上都是四元数的一些基本定义,接下来我们逐一看一下四元数的一些基本运算。
四元数加法
两个四元数的加法就是将“实部虚部”对应位置做元素求和:
q1+q2=(s1+ix1+jy1+kz1)+(s2+ix2+jy2+kz2)=(s1+s2)+i(x1+x2)+j(y1+y2)+k(z1+z2)
可以简单证明,四元数的加法满足交换律、结合律和分配律,这里不过多展开介绍。
四元数缩放
在系数缩放这一点上,四元数与复数是一致的:
λq=λs+iλx+jλy+kλz
逐一对四元数中的各项元素进行缩放即可。
四元数乘法
四元数的乘法是所有元素之前都要运算一遍:
q1q2=(s1+ix1+jy1+kz1)∗(s2+ix2+jy2+kz2)=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2) +i(s1x2+s2x1+y1z2−y2z1) +j(s1y2+s2y1+x2z1−x1z2) +k(s1z2+s2z1+x1y2−x2y1)
这个运算过程是这样的,我们令q=q1q2=s+ix+jy+kz,那么这个乘法运算最终组成s这个元素的,分别是s1∗s2,(ix1)∗(ix2),(iy1)∗(iy2),(iz1)∗(iz2)这些项,而i2=j2=k2=−1,因此最终得到s=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2)。但是直到这里为止,我们所涉及到的元素乘法只是在“实部”和相同的“虚数单位”之间的运算,如果一旦涉及到不同的“虚数单位”之间的乘法运算,那就要自动转化成向量叉乘,比如ij=ji=k。因此,我们要计算q中的z项的时候,只需要计算s1z2,s2z1,x1y2,x2y1这些项即可,同时注意符号的变换,那么得到的最终的结果就是如上所示。
需要注意的是,四元数与复数的最大的一点不同,复数乘法是有交换律的,而四元数没有
。举个例子说,我们可以计算一下q1,q2的对易:
[q1,q2]=q1q2−q2q1=(s1s2−x1x2−y1y2−z1z2)+i(s1x2+s2x1+y1z2−y2z1)+j(s1y2+s2y1+x2z1−x1z2)+k(s1z2+s2z1+x1y2−x2y1)−(s2s1−x2x1−y2y1−z2z1)−i(s2x1+s1x2+y2z1−y1z2)−j(s2y1+s1y2+x1z2−x2z1)−k(s2z1+s1z2+x2y1−x1y2)=2i(y1z2−y2z1)+2j(x2z1−x1z2)+2k(x1y2−x2y1)
那么也就是说,这两个四元数q1,q2之间是非对易的,也就是不可交换的。但是,四元数的运算是满足结合律和分配率的
。
由于上面的这种四元数乘法展开,写起来过于繁杂,我们考虑对其进行一定的简化。如果我们假定2个纯虚数(s=0):
a=ix1+jy1+kz1b=ix2+jy2+kz2
其实类似于这种形式的四元数,实际上就是三维空间中的向量,那么这两者的点积和叉积有:
a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2a×b=(y1z2−y2z1)i+(z1x2−z2x1)j+(x1y2−x2y1)k
需要注意的是,这里的叉积是向量叉积,跟四元数中的“虚数单位”相比,最大的一点不同就是:在向量叉积中,i×i=0,但是在四元数的乘法中,i×i=−1(非常重要)。
那么在有了以上的两个公式之后,我们就可以对四元数的乘法表示做一个简化:
q1q2=s1s2−a⋅b+sab+sba+a×b
实四元数和纯四元数
对于一个实四元数而言,就是取x=y=z=0:
qr=s
对于一个纯四元数而言,就是取s=0:
qi=ix+jy+kz
四元数共轭
对四元数的所有“虚部”取负数,即是四元数的共轭:
q∗=s−ix−jy−kz
单位四元数
四元数的模的定义跟复数是一致的:
|q|=√s2+x2+y2+z2=√qq∗
而单位四元数的定义即是模为1的四元数:
s2+x2+y2+z2=1
如果给定的一个四元数不是单位四元数,那么我们可以对其进行规范化:
q′=q√s2+x2+y2+z2
四元数的逆
对于一个单位四元数而言,因为有qq∗=1,所以单位四元数的逆就是其共轭四元数。如果是对于更加一般的场景,我们可以这样考虑:
q(q−1∗|q|2)=|q|2qq∗=|q|2q−1=q∗|q|2
比较特殊地,对于单位四元数q−1=q∗。
四元数的二元表示
类似于复数的二元形式,通常一个四元数也可以被表示成如下的二元形式:
q=s+v^q=[s,v^q]
其中v=[x,y,z],^q=[i,j,k]。关于此处的乘法描述,其实有一定的不严谨性,因为它既不是点积,也不是叉积,也不是外积,而是普通的元素乘。这种元素乘的概念在计算机领域是很常用的,但是在数学上其实并不是很常用。在这种二元描述下,四元数的乘法形式会略有调整:
q1q2=[s1s2−(v1^q1)⋅(v2^q2),s1v2^q2+s2v1^q1+(v1^q1)×(v2^q2)]
四元数点积
上面的章节中提到过四元数的普通乘法,但其实四元数也像普通的向量一样可以进行点积运算:
q1⋅q2=s1s2+v1⋅v2
这也是受益于四元数的二元表示,使得我们在书写结果的时候可以更加的简练。
四元数的指数
我们先来回顾一下复数z=x+iy的指数计算,根据泰勒展开公式f(x)=∑nf(n)(x0)n!(x−x0)n(比较特殊地,ex=∑∞k=0xkk!)对ez在y=0处的展开有:
ez=ex+iy=exeiy=ex(1+iy−12!y2−i3!y3+14!y4+i5!y5−16!y6−i7!y7+...)
对比一下常用的三角函数的泰勒展开式(相关证明见参考链接2):
sin x=x−13!x3+15!x5−17!x7+...cos x=1−12!x2+14!x4−16!x6+...
代入可得:
ez=exeiy=ex(cos y+i sin y)
也即,对于一个纯虚数iθ而言,其指数为:eiθ=cosθ+i sinθ。那么类似的,对于一个二元表示的四元数q=s+v^q有:
eq=es+v^q=es(1+v^q+12!(v^q)2+13!(v^q)3+14!(v^q)4+15!(v^q)5+16!(v^q)6+17!(v^q)7+...)
这里有一点不同的是,我们计算四元数的幂次的时候需要谨慎,可以先手动计算一下:
(v^q)2=0−(v^q)⋅(v^q)+0+0+(v^q)×(v^q)=−|v|2(v^q)3=−|v|2(v^q)(v^q)4=|v|4(v^q)5=|v|4(v^q)(v^q)6=−|v|6(v^q)7=−|v|6(v^q)...
代入四元数的指数部分进行计算可得:
eq=es+v^q=es(1+v^q−12!|v|2−13!|v|2(v^q)+14!|v|4+15!|v|4(v^q)−16!|v|6−17!|v|6(v^q)+...)=es(cos|v|+v^q|v|sin|v|)
这就是四元数的指数运算。
四元数的指数表示
区分于上一个章节中的四元数的指数运算,这个章节我们是要用一个指数形式去表示任意给定的一个四元数。因为在上一个章节中我们发现,一个四元数的指数形式是另外一个四元数,因此,理论上说我们可以用一个指数形式来表示任意的一个四元数。我们首先还是参考一下复数的指数表示:
z=x+iy=√x2+y2(x√x2+y2+iy√x2+y2)=√x2+y2eiy|y| arccos(x√x2+y2)
类似地,一个四元数可以表示为:
q=s+v^q=√s2+|v|2⎛⎜
⎜⎝s√s2+|v|2+v^q|v||v|√s2+|v|2⎞⎟
⎟⎠=√s2+|v|2e^qv|v| arccos(s√s2+|v|2)
比较有意思的是,如果我们取q=s+ix+jy+kz中的y=0,z=0时,我们发现v=±|v|,^q=i,这样一来,四元数的指数表示形式就和复数的指数表示形式完全对应上了。
四元数的对数
在上一个章节中,如果我们把一个四元数表示成一个指数的形式,就会很大程度上方便我们去计算一个四元数q=s+v^q的对数:
log(q)=log⎛⎜⎝√s2+|v|2e^qv|v| arccos(s√s2+|v|2)⎞⎟⎠=log(√s2+|v|2)+^qv|v| arccos⎛⎜
⎜⎝s√s2+|v|2⎞⎟
⎟⎠
这样就得到了四元数的对数的二元表示形式。
四元数的幂次
了解了四元数的指数和对数的计算模块之后,我们可以计算一个四元数的幂次。正是由于四元数的指数表示形式,使得我们可以将四元数的幂次简单的转化成乘法的表示形式:
qt=⎡⎢⎣√s2+|v|2e^qv|v| arccos(s√s2+|v|2)⎤⎥⎦t=(s2+|v|2)t2e^qvt|v| arccos(s√s2+|v|2)
那么这就得到了四元数的幂次表达形式。
欧拉角旋转四元数
在上一篇文章中我们提到过,每一个四元数其实都可以对应于三维空间的一个向量旋转,一个四元数q作用在一个空间向量v上就会旋转得到一个新的空间向量:
v′=qvq∗
而如果给定了三维空间中的旋转欧拉角,在四元数中就可以表示为相应的旋转四元数。比如绕X轴旋转β角所对应的四元数为:q=cosβ2+i sinβ2,绕Y轴旋转α角所对应的四元数为:q=cosα2−j sinα2,绕Z轴旋转γ角所对应的四元数为:q=cosγ2+k sinγ2。而通常使用的ZXY顺规可表示为:
q=(cosα2−j sinα2)(cosβ2+i sinβ2)(cosγ2+k sinγ2)
关于更多的旋转四元数的内容,可以阅读一下参考链接3中的内容。
向量变换四元数
这个问题的定义是比较清晰的,如果给定空间中的两个不同的向量,能否直接获得这两个向量之间变换的四元数呢?如果用公式来表示就是:已知v1,v2两个空间向量,求q使得v2=qv1q∗。关于这个问题的求解,在参考链接3中也是有介绍的,这里再简单提一下计算方法:
u=v1×v2cosθ=v1⋅v2|v1||v2|q=cosθ2+i sinθ2u⋅i+j sinθ2u⋅j+k sinθ2u⋅k
这个算法的本质,其实就是先用向量叉乘找到旋转轴,然后计算两个向量之间的夹角,最后再使用四元数的绕旋转轴旋转指定角度的公式计算,就可以得到对应的空间向量变换的四元数。
旋转四元数和变换四元数的不对等场景
这里为了区分欧拉角旋转的四元数和绕轴旋转的四元数,我们将其分别称呼为旋转四元数与变换四元数。其实要证明二者是不对等的也很容易,只要举出一个例子来证明二者作用的结果不相等即可。其实在参考链接3中已经给出了类似的案例,这里我们再举一个简单例子来进行探讨。首先我们给定一个初始空间向量:
v1=i
我们使其先绕Y轴旋转90度,再绕Z轴旋转90度,那么利用四元数进行计算,得到的结果是:
qrot=(cosγ2+k sinγ2)(cosβ2−j sinβ2)v2=qv1q∗=k
也就是说,在这个欧拉角对应的旋转变换下,我们将一个向量从X轴正方向变换到了Z轴的正方向上。那么如果我们考虑使用向量绕轴旋转的公式来计算的话:
u=v1×v2=i×k=−jcosθ=v1⋅v2|v1||v2|=0qtrans=cosθ2+i sinθ2u⋅i+j sinθ2u⋅j+k sinθ2u⋅k=√22−j√22
显然,qrot≠qtrans,只是在这个案例下有:
qrotv1q∗rot=qtransv1q∗trans=v2
我们只需要换一个初始空间向量,比如我们将初始向量设置为Z轴的负方向,即:v1=−k,那么再看看两个变换所对应的结果:
qrotv1q∗rot=14(1+i−j+k)(−k)(1−i+j−k)=jqtransv1q∗trans=12(1−j)(−k)(1+j)=i
显然这两个变换之后的结果是不同的。其实道理很简单,i在qrot的作用下,先绕Y轴转90度,刚好就到了Z轴正方向上,此时再绕Z轴旋转是不会动的。而qtrans,就只是绕Y轴旋转90度的一个操作,因为从客观的变换来说,qrot作用在i上就等价于只绕Y轴旋转了90度。这就是旋转的特殊性,在很多情况下,欧拉角的旋转跟绕轴旋转是不能画上等号的。
总结概要
本文主要介绍四元数Quaternion的一些基本运算法则。四元数的概念,更像是复数的一个推广,在图形学和工程学中有大量的应用,在蛋白质结构预测软件AlphaFold和MEGA-Protein中都大量的使用了四元数的计算。而大部分的四元数的教材中写的计算法则,经常把各类乘法混在一起使用,阅读起来非常难受,因此只好自己总结一下四元数的相关运算。并且跟我们所熟悉的复数运算有一定的对比,更加容易去理解四元数的概念。
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参考链接
- https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
- http://www.songho.ca/math/taylor/taylor_tri.html
- https://www.cnblogs.com/dechinphy/p/quaternion.html
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