统计力学中的概率论基础（一）

技术背景

统计力学是一门通过粒子的纯粹微观量来表示系统宏观量的学科，从统计分布出发，用无偏/有偏估计来研究各种不同的系综。本文内容部分参考自郑伟谋老师所著《统计力学导引》，主要介绍其中概率论基础的部分。但因为大多是个人的理解，如有差错，与参考文献作者无关。

事件与概率

假定我们抛一枚质地未知的硬币，正面事件记为\(A\)，反面事件记为\(B\)。那么经过多次的测试，可以得到一个统计概率：\(P(A)=\frac{n_A}{N},P(B)=\frac{n_B}{N}\)。这里就可以有一些基本性的结论：

\[P(A)\geq0,P(B)\geq0\\ P(A)+P(B)=1\\ \]

因为这里面事件\(A\)和事件\(B\)是互斥事件（发生\(A\)的同时不可能发生\(B\)），那么发生\(A\)或\(B\)的概率就可以表示为：

\[P(A\or B)=\frac{n_A+n_B}{N}=P(A)+P(B) \]

以上就是概率函数的3个基本特性。假如在此基础上，再进行一轮测试，那么此时得到\(A\)的概率为：

\[P(A)=\frac{n_A^{(1)}+n_A^{(2)}}{N_1+N_2} \]

由于样本数的不一致，这里有：

\[P_1(A)+P_2(A)=\frac{n_A^{(1)}}{N_1}+\frac{n_A^{(2)}}{N_2}\\ P(A)=P_1(A)\frac{N_1}{N_1+N_2}+P_2(A)\frac{N_2}{N_1+N_2} \]

也就是说，如果要获取多份样本中的同一个事件的总概率，需要依照样本数做一个加权平均。

条件概率

如果问题变得更加复杂一些，我们一次抛2个硬币，并且记1号硬币正面朝上为事件\(A\)，反面朝上为事件\(B\)，2号硬币正面朝上为事件\(C\)，反面朝上为事件\(D\)。那么类似的有\(P(C)=\frac{n_C}{N},P(D)=\frac{n_D}{N}\)，这是对2号硬币的结果的概率统计。此时如果我们去统计一个联合概率，1号硬币正面朝上2号硬币也正面朝上的概率为：

\[P(A\and C)=\frac{n_{A\and C}}{N}=\frac{n_A}{N}\frac{n_{A\and C}}{n_A}=P(A)P(C|A) \]

其中\(P(C|A)\)表示事件\(A\)发生的条件下，事件\(C\)发生的概率，是一个条件概率。

同样在这个案例中，因为事件\(C\)发生的概率为\(\frac{n_C}{N}\)，因此在\(n_A\)的样本数下，事件\(C\)发生的频次的期望值为\(n_{A\and C}=\frac{n_C}{N}n_A\)，因此有：

\[P(A\and C)=\frac{n_A}{N}\frac{n_{A\and C}}{n_A}=\frac{n_A}{N}\frac{n_C}{N}=P(A)P(C) \]

贝叶斯定理

满足这种条件的事件\(A\)和\(C\)，又称为独立事件。并由此可以得到贝叶斯（Bayes）定理：

\[P(A|C)P(C)=P(C|A)P(A) \]

或者写为这种更加常见的形式：

\[P(A|C)=\frac{P(C|A)P(A)}{P(C)} \]

还是在这个案例中，因为我们知道第一个硬币正面朝上（事件\(A\)）的条件下，对应的第二个硬币，要么正面朝上（事件\(C\)），要么反面朝上（事件\(D\)），而事件\(A\)的概率可以表示为两个条件概率的加和：

\[P(A)=P(A|C)+P(A|D) \]

该公式又称为边际分布。

累积分布函数

如果我们随机投一个骰子，它朝上的一面对应的值，有可能是整数1~6之间的一个。因为在投之前，我们并不知道会出现什么数字朝上，因此我们将朝上的数字定义为一个随机变量\(X\)。对于一个随机变量\(X\)而言，其分布函数被定义为：

\[F(x)=P(X\leq x) \]

表示的是\(X\)取值不大于\(x\)的概率，例如，开小的概率为\(F(3)=P(X\leq3)=\frac{1}{2}\)，开大的概率为\(F(6)-F(3)=P(X\leq6)-P(X\leq3)=\frac{1}{2}\)。其导数\(f(x)=F'(x)\)为概率密度函数。累积分布函数有如下的一些特性：

1. 累积分布函数是有界的：\(\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0,\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1\)。
2. 累积分布函数具有单调性：\(F(x_1)\leq F(X_2),x_1\leq x_2\)。
3. \(P(x_1< x\leq x_2)=F(x_2)-F(X_1)\)。
4. 当我们写出上面这个式子时，我们应当注意到，这是一个左开右闭的区间。其实也容易理解，比如狄拉克函数的积分在\(x=x_0\)处有一个突跃的位置，那么比较显然的是，\(F_{x\rightarrow x_0^-}(x)=0,F_{x=x_0}(x)=1,F_{x\rightarrow x_0^+}(x)=1\)。更一般的，我们可以理解其为右连续的累积分布函数：\(\lim_{x\rightarrow x_0^+}F(x)=F(x_0)\)。

如果考虑一个离散情形的概率密度函数，有：

\[f(x)\Delta x=P(x\leq X\leq x+\Delta x) \]

分布函数唯一地决定随机变量的全部数字特征。

对于这个投骰子的问题，虽然我们没办法知道下一次会投出什么数字来，但是我们可以计算出出现的数字的平均值，或者叫期望值：

\[E(X)=1*P(X=1)+2*P(X=2)+...+6*P(X=6)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+...+\frac{6}{6}=\frac{7}{2} \]

也就是说，最终得到的点数的平均值应该为3.5。那么假如对于这个随机变量，有一个函数\(Y=h(X)\)，那么关于\(Y\)的期望值为：

\[E(Y)=E(h(X))=h(1)P(X=1)+h(2)P(X=2)+...+h(6)P(X=6) \]

对于连续型的随机变量来说，期望值可以写为：

\[\mu(X)=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \]

带函数的期望值可以写为：\(E(h(x))=\int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)dx\)，例如\(X\)的\(\gamma\)阶绝对矩为：

\[M_{\gamma}(X)=E(|X|^{\gamma})=\int_{-\infty}^{\infty}|X|^{\gamma}f(x)dx \]

此时要回顾起一个跟期望值/平均值息息相关的函数：方差函数。在概率论中，方差被定义为：

\[\sigma^2(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2-2E(X)X+E(X)^2]=E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2=M_2(X)-[\mu(X)]^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx \]

有了方差，自然就有了标准差：

\[\sigma(X)=\sqrt{M_2(X)-[\mu(X)]^2} \]

如果是多变量情形，我们还可以定义一个协方差（Covariance）用于衡量两个变量之间的总体偏差：

\[Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y) \]

需要注意的是，协方差可以用于计算一维的随机变量\(X,Y\)，也可以用于计算高维的随机变量\(\textbf{X},\textbf{Y}\)。我们可以想象出来，对于一个shape为\((n,)\)的随机变量\(\textbf{X}\)而言，对其计算期望值\(E(\textbf{X})\)，得到的结果也是\((n,)\)的shape。如果给定的是两个高维的随机变量\(\textbf{X},\textbf{Y}\)，假设其shape分别为\((n,)\)和\((m,)\)，那么得到的期望值\(E(\textbf{X}\textbf{Y})\)的结果shape为\((n,m)\)。类似的，\(E(\textbf{X})E(\textbf{Y})\)的结果shape也是\((n,m)\)。这样一来，协方差\(Cov(\textbf{X},\textbf{Y})\)的结果shape也是\((n,m)\)。

母函数

母函数，又称生成函数（Generating function），是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。例如我们有可能得到这样的一个母函数：

\[g(x)=2x^1+3x^4 \]

这个形式的母函数表示，事件\(1\)发生的概率为\(\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)，事件\(4\)有可能发生的概率为\(\frac{3}{5}\)。具体的母函数构造方法是这样的，还是以抛硬币为例子。假设硬币正面朝上为事件\(A\)，硬币反面朝上为事件\(B\)，那么可以这样构造一个母函数：

\[g(x)=P(A)+xP(B),P(A)+P(B)=1 \]

这里面\(x\)只是一个形参，没有具体含义。那么如果我们抛两次硬币，得到的母函数形式为：

\[g(x)=[P(A)+xP(B)][P(A)+xP(B)]=x^0P(A)^2+2x^1P(A)P(B)+x^2P(B) \]

写成这个形式之后，就可以分别获得三个不同事件的概率。事件0：两次都是正面朝上，概率为\(P(0)=P(A)^2\)，事件1：一次正面朝上一次反面朝上，概率为\(P(1)=2P(A)P(B)\)，事件2：两次都是反面朝上，概率为\(P(2)=P(B)^2\)。那么假设投的是一块质地均匀的硬币，这样我们得到的三个事件的概率分别为：

\[P(0)=\frac{1}{4},P(1)=\frac{1}{2},P(2)=\frac{1}{4} \]

这里事件1记录的是一个无序事件，如果要记录为有序事件，即第一次正面朝上、第二次反面朝上和第一次反面朝上、第二次正面朝上为不同事件的话，那表示方法又会有所不同。母函数更多的用于记录可能出现的组合的数量，也就是无序事件的场景用的会更多一些。

总结概要

本文的主要内容是一些统计力学中的基础的概率论知识，如密度函数、分布函数和贝叶斯定理的一些基本概念，主要作为一个简单的知识内容记录和分享。

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参考资料

1. 《统计力学导引》--郑伟谋