统计力学中的概率论基础(一)

技术背景

统计力学是一门通过粒子的纯粹微观量来表示系统宏观量的学科,从统计分布出发,用无偏/有偏估计来研究各种不同的系综。本文内容部分参考自郑伟谋老师所著《统计力学导引》,主要介绍其中概率论基础的部分。但因为大多是个人的理解,如有差错,与参考文献作者无关

事件与概率

假定我们抛一枚质地未知的硬币,正面事件记为A,反面事件记为B。那么经过多次的测试,可以得到一个统计概率:P(A)=nAN,P(B)=nBN。这里就可以有一些基本性的结论:

P(A)0,P(B)0P(A)+P(B)=1

因为这里面事件A和事件B是互斥事件(发生A的同时不可能发生B),那么发生AB的概率就可以表示为:

P(AB)=nA+nBN=P(A)+P(B)

以上就是概率函数的3个基本特性。假如在此基础上,再进行一轮测试,那么此时得到A的概率为:

P(A)=nA(1)+nA(2)N1+N2

由于样本数的不一致,这里有:

P1(A)+P2(A)=nA(1)N1+nA(2)N2P(A)=P1(A)N1N1+N2+P2(A)N2N1+N2

也就是说,如果要获取多份样本中的同一个事件的总概率,需要依照样本数做一个加权平均。

条件概率

如果问题变得更加复杂一些,我们一次抛2个硬币,并且记1号硬币正面朝上为事件A,反面朝上为事件B,2号硬币正面朝上为事件C,反面朝上为事件D。那么类似的有P(C)=nCN,P(D)=nDN,这是对2号硬币的结果的概率统计。此时如果我们去统计一个联合概率,1号硬币正面朝上2号硬币也正面朝上的概率为:

P(AC)=nACN=nANnACnA=P(A)P(C|A)

其中P(C|A)表示事件A发生的条件下,事件C发生的概率,是一个条件概率。

同样在这个案例中,因为事件C发生的概率为nCN,因此在nA的样本数下,事件C发生的频次的期望值为nAC=nCNnA,因此有:

P(AC)=nANnACnA=nANnCN=P(A)P(C)

贝叶斯定理

满足这种条件的事件AC,又称为独立事件。并由此可以得到贝叶斯(Bayes)定理

P(A|C)P(C)=P(C|A)P(A)

或者写为这种更加常见的形式:

P(A|C)=P(C|A)P(A)P(C)

还是在这个案例中,因为我们知道第一个硬币正面朝上(事件A)的条件下,对应的第二个硬币,要么正面朝上(事件C),要么反面朝上(事件D),而事件A的概率可以表示为两个条件概率的加和:

P(A)=P(A|C)+P(A|D)

该公式又称为边际分布

累积分布函数

如果我们随机投一个骰子,它朝上的一面对应的值,有可能是整数1~6之间的一个。因为在投之前,我们并不知道会出现什么数字朝上,因此我们将朝上的数字定义为一个随机变量X。对于一个随机变量X而言,其分布函数被定义为:

F(x)=P(Xx)

表示的是X取值不大于x的概率,例如,开小的概率为F(3)=P(X3)=12,开大的概率为F(6)F(3)=P(X6)P(X3)=12。其导数f(x)=F(x)概率密度函数。累积分布函数有如下的一些特性:

  1. 累积分布函数是有界的:limxF(x)=0,limx+F(x)=1
  2. 累积分布函数具有单调性:F(x1)F(X2),x1x2
  3. P(x1<xx2)=F(x2)F(X1)
  4. 当我们写出上面这个式子时,我们应当注意到,这是一个左开右闭的区间。其实也容易理解,比如狄拉克函数的积分在x=x0处有一个突跃的位置,那么比较显然的是,Fxx0(x)=0,Fx=x0(x)=1,Fxx0+(x)=1。更一般的,我们可以理解其为右连续的累积分布函数:limxx0+F(x)=F(x0)

如果考虑一个离散情形的概率密度函数,有:

f(x)Δx=P(xXx+Δx)

分布函数唯一地决定随机变量的全部数字特征。

对于这个投骰子的问题,虽然我们没办法知道下一次会投出什么数字来,但是我们可以计算出出现的数字的平均值,或者叫期望值

E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+...+6P(X=6)=16+26+...+66=72

也就是说,最终得到的点数的平均值应该为3.5。那么假如对于这个随机变量,有一个函数Y=h(X),那么关于Y的期望值为:

E(Y)=E(h(X))=h(1)P(X=1)+h(2)P(X=2)+...+h(6)P(X=6)

对于连续型的随机变量来说,期望值可以写为:

μ(X)=E(X)=xf(x)dx

带函数的期望值可以写为:E(h(x))=h(x)f(x)dx,例如Xγ阶绝对矩为:

Mγ(X)=E(|X|γ)=|X|γf(x)dx

此时要回顾起一个跟期望值/平均值息息相关的函数:方差函数。在概率论中,方差被定义为:

σ2(X)=E[(XE(X))2]=E[X22E(X)X+E(X)2]=E(X2)2[E(X)]2+[E(X)]2=M2(X)[μ(X)]2=(xμ)2f(x)dx

有了方差,自然就有了标准差

σ(X)=M2(X)[μ(X)]2

如果是多变量情形,我们还可以定义一个协方差(Covariance)用于衡量两个变量之间的总体偏差:

Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}=E[XYYE(X)XE(Y)+E(X)E(Y)]=E(XY)E(X)E(Y)

需要注意的是,协方差可以用于计算一维的随机变量X,Y,也可以用于计算高维的随机变量X,Y。我们可以想象出来,对于一个shape为(n,)的随机变量X而言,对其计算期望值E(X),得到的结果也是(n,)的shape。如果给定的是两个高维的随机变量X,Y,假设其shape分别为(n,)(m,),那么得到的期望值E(XY)的结果shape为(n,m)。类似的,E(X)E(Y)的结果shape也是(n,m)。这样一来,协方差Cov(X,Y)的结果shape也是(n,m)

母函数

母函数,又称生成函数(Generating function),是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。例如我们有可能得到这样的一个母函数:

g(x)=2x1+3x4

这个形式的母函数表示,事件1发生的概率为22+3=25,事件4有可能发生的概率为35。具体的母函数构造方法是这样的,还是以抛硬币为例子。假设硬币正面朝上为事件A,硬币反面朝上为事件B,那么可以这样构造一个母函数:

g(x)=P(A)+xP(B),P(A)+P(B)=1

这里面x只是一个形参,没有具体含义。那么如果我们抛两次硬币,得到的母函数形式为:

g(x)=[P(A)+xP(B)][P(A)+xP(B)]=x0P(A)2+2x1P(A)P(B)+x2P(B)

写成这个形式之后,就可以分别获得三个不同事件的概率。事件0:两次都是正面朝上,概率为P(0)=P(A)2,事件1:一次正面朝上一次反面朝上,概率为P(1)=2P(A)P(B),事件2:两次都是反面朝上,概率为P(2)=P(B)2。那么假设投的是一块质地均匀的硬币,这样我们得到的三个事件的概率分别为:

P(0)=14,P(1)=12,P(2)=14

这里事件1记录的是一个无序事件,如果要记录为有序事件,即第一次正面朝上、第二次反面朝上和第一次反面朝上、第二次正面朝上为不同事件的话,那表示方法又会有所不同。母函数更多的用于记录可能出现的组合的数量,也就是无序事件的场景用的会更多一些。

总结概要

本文的主要内容是一些统计力学中的基础的概率论知识,如密度函数、分布函数和贝叶斯定理的一些基本概念,主要作为一个简单的知识内容记录和分享。

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参考资料

  1. 《统计力学导引》--郑伟谋

本文作者:Dechin的博客

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