0/1背包问题（回溯法）

　　回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一结点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则 ，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

 

问题的解空间

用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个(最优)解。对于 n=3 时的 0/1 背包问题，可用一棵完全二叉树表示解空间，如图所示：

 

求解步骤

1)针对所给问题，定义问题的解空间；

2)确定易于搜索的解空间结构；

3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

常用的剪枝函数：用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。

回溯法对解空间做深度优先搜索时，有递归回溯和迭代回溯（非递归）两种方法，但一般情况下用递归方法实现回溯法。

 

算法描述

　　解 0/1 背包问题的回溯法在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。

 

代码：

public class Knapsack_Problem01 {
    double m=100; //背包最大容量
    int n=5;  //物品的个数
    int[] w = {10,20,30,40,50}; //第i个物品的重量
    int[] v = {20,30,65,40,60};  //第i个物品的价值
    
    int[] a = new  int[n]; //记录在树中的移动路径,为1的时候表示选择该组数据，为0的表示不选择该组数据
    int maxvalue = 0;   //背包的最大权重值
    public static void main(String[] args)
    {
        Knapsack_Problem01 p = new Knapsack_Problem01();
        p.Search(0);
    }
    public void Search(int i)   //i表示递归深度
    {
        if(i>=n)
        {
            CheckMax();
        }
        else {
            a[i] = 0;
            Search(i+1);
            a[i] = 1;
            Search(i+1);
        }
    }
    public void CheckMax()
    {
        int weight = 0;
        int value = 0;
        for(int i=0;i<n;i++)  //判断是否达到上限
        {
            if(a[i] == 1)
            {
                weight = weight + w[i];
                value = value + v[i];
            }
        }
        if(weight <= m)
        {
            if(value >= maxvalue)
            {
                maxvalue = value;
                System.out.print("最大价值是：" + maxvalue +"  ");
                System.out.print("所选取的物品为(1代表选中，0代表不选中)： ");
                for(int j=0;j<n;j++)
                {
                    System.out.print(a[j]);
                    System.out.print(' ');
                }
                System.out.print('\n');
            }

        }
    }
}