斯特林反演入门

咕咕咕

只有公式

\[ f(n)=\sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}g(k) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin {bmatrix} n\\k \end{bmatrix}f(k) \]

题大概就只有这个

先只考虑行的限制

设\(m\)列，每行不相同的方案数是\(g(m)\)

则\(g(m)=(C^m)^{\underline{n}}\)

设\(m\)列，每行每列都不相同的方案数是\(f(m)\)

则考虑\(g\)中的列分成了多少个等价类有

\[g(m)=\sum_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}m\\i \end{Bmatrix}f(i) \]

于是

\[f(m)=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\begin {bmatrix} m\\i \end{bmatrix}g(i) \]

时间复杂度\(O(nm)\)