欧拉函数

意义

对于正整数\(n\)，\(\varphi(n)\)表示小于等于\(n\)的正整数中与\(n\)互素的数的数目

定义

\(\varphi(n)=n\cdot(1-\frac 1{p_1})\cdot(1-\frac 1{p_2})\cdot...\cdot(1-\frac 1{p_n})\)

其中\(p_i\)表示\(i\)的质因数

特别地，\(\varphi(1)=1\)

证明

用类似于容斥原理的方法求\(1\sim n-1\)中与\(n\)互素的数：

先把\(n\)的所有质因数\(p_i\)的倍数都筛掉，再把\(p_i,p_{i+1}\)的公共倍数添加回来，再去掉\(p_i,p_{i+1},p_{i+2}\)的公共倍数...

得到\(\varphi(n)=n-\frac n{p_1}-\frac n{p_2}-\cdots+\frac n{p_1p_2}+\frac n{p_2p_3}+\cdots\)

由相关数学知识化简得到定义式。

性质

\(a,b\)互素时由定义式易证\(\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b)\)，由此欧拉函数是积性函数。

求解方法

1. 由定义式可以得到一种直白的求法：（在线算法）

   用唯一分解定理的方法找出\(n\)的所有质因数，同时用定义式求即可

   由于\(p_i\)是\(n\) 不同的质因数，所以计算中除法不会出现不能整除的情况

   为了防止爆精度，计算时先除后乘。

   int phi(int n) {
   	if(n == 1) return 1;
   	int p = n;
   	for(int i=2, n1=n; i*i<=n1; i++) if(n%i == 0){
   		p = p / i * (i-1);
   		while(n%i == 0) n /= i;
   	}
   	if(n>1) p = p / n * (n-1);
   	return p;
   }
   

2. 打欧拉函数表：（离线算法）用筛法，边筛素数边算

   • 埃氏筛

     初始化\(phi[i]=i\)

     筛到素数\(p\)，在标记\(p\)的倍数不是素数的同时计算，\(phi[i*p]=phi[i*p]/p*(p-1)\)

     void sieve(int n) {
     	phi[1] = 1;
     	for(int i=2; i<=n; i++) {
     		if(!npr[i]) continue;
     		for(int j=2; i*j<=n; j++) {
     			npr[i*j] = 1;
     			phi[i*j] = phi[i*j] / i * (i-1);
     		}
     	}
     }
     

   • 欧拉筛（线性筛）

     因为欧拉筛中每个数只筛一次，所以要一次算出最终结果。

     设\(p\)为素数，分类讨论如下：

     1. \(phi[p]=p-1\)
     2. 已知\(phi[x]\)且\(p\)能整除\(x\)：\(phi[x*p]=phi[x]*p\)
     3. 已知\(phi[x]\)且\(p\)不能整除\(x\)：\(phi[x*p]=phi[x]*(p-1)\)

     每一个对应的简单证明：

     1. \(p\)以内所有数都与\(p\)互质，所以答案为\(p-1\)
     2. \(p\)不是\(x*p\)新增的素数，故由定义式知\(phi[x]\)算\(phi[x*p]\)时后边带括号的部分相同，只是前面的\(x\)变成了\(x*p\)，所以\(phi[x]*p\)即可
     3. \(p\)是\(x*p\)新增的素数，由\(phi[x]\)算\(phi[x*p]\)时要乘一个因子\(\frac{p-1}p\)，同时前面\(x\)变成\(x*p\)，约分后为\(phi[x]*(p-1)\)

     void sieve(int n) {
     	np = 0; phi[1] = 1;
     	for(int i=2; i<=n; i++) {
     		if(!npr[i]) p[++np] = i, phi[i] = i-1;
     		for(int j=1; j<=np && i*p[j]<=n; j++) {
     			npr[i*p[j]] = 1;
     			phi[i*p[j]] = phi[i] * (i%p[j] ? p[j]-1 : p[j]);
     			if(i%p[j] == 0) break;
     		}
     	}
     }
     

参考博客

【线性筛】-大米饼