乘法逆元

作用

众所周知，模运算下有同加性，同减性，同乘性而没有同除性，即没有\((\frac ab)\%p=(\frac{a\%p}{b\%p})\%p\)

如果不信很简单就可以找到一组反例：

\((\frac {100}{50})\%20=2\)

而

\((\frac{100\%20}{50\%20})\%20=0\)。

但是求解中有大量除法怎么办呢？于是为了解决没有同除性问题就产生了乘法逆元。

现在假设\(x\)为\(a\)的乘法逆元，根据需求，应该满足对于任意的整数\(b\)，\(\frac ba≡p(mod\ n)\)时有\(bx≡p(mod\ n)\)。

给出定义：当\(ax\equiv1(mod\ n)\) 时，称\(x\)为\(a\)模\(n\)意义下的乘法逆元。

由此利用同乘性有：

\[\frac ba\equiv\frac ba\cdot1\equiv\frac ba\cdot ax\equiv b\cdot x(mod\ n) \]

因此只要找到符号定义的\(x\)就可以把模算术中的除法转换成了乘法。

从定义中强调了\(n\)可以知道，对于不同的模数，\(a\)的乘法逆元是不同的，具体原因看后面求解的过程

求法

1、扩展欧几里得算法：

由定义有\(ax=nk+1,k\in Z\)，即\(ax-nk=1\)。

条件：根据扩展欧几里得算法相关知识，仅当1为\(gcd(a, n)\)的倍数，此处即\(gcd(a, b)=1\)时该方程有解

此时可用扩展欧几里得算法求解：

LL Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if(!b) { x=1, y=0; return a; }
    LL g = Exgcd(b, a%b, y, x);
    y = y - a / b * x;
    return g;
}

LL inverse(LL a, LL n) {
    LL x, y, g = Exgcd(a, n, x, y);
    return g == 1 ? (x%n+n)%n : -1; // -1为无解 
}

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2、费马小定理：

原定理：\(a^{p-1}≡1(mod\ p)\)

条件：\(p\)为素数且\(a,p\)互素

则可推得\(a\cdot a^{p-2}≡1(mod\ p)\)

即\(a^{p-2}\)为\(a\)的乘法逆元

快速幂算\(a^{p-2}\)，时间\(O(log_2n)\)

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3、欧拉定理：

相当于扩展的费马小定理，处理模数不是素数的情况

原定理：\(a^{\varphi(p)}\equiv1(mod\ p)\)，其中\(\varphi(p)\)为欧拉函数

条件：\(a,p\)互质

推得\(a\cdot a^{\varphi(p)-1}\equiv1(mod\ p)\)

求解过程和"2、费马小定理"类似，要多算一个\(\varphi(p)\)但可以处理更宽泛的情况，不要求\(p\)为素数

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一对比就可以发现，用扩展欧几里得算法明显实用性更强，因此推荐写扩欧。

但\(p\)为素数时用费马小定理写快速幂会快一点。

至于欧拉算法，就比较尴尬，广泛性不如扩欧大，代码复杂度不如费马小定理低，因此推测它不常用。