杂题选写 2

合集 - 杂题选写(2)

1.杂题选写2024-09-27

2.杂题选写 22024-11-13

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CF1423L Light switches

*2600

tag：暴力枚举，meet in middle

题目描述

有 $n(1\le 1000)$ 盏灯和 $s(1\le s\le 30)$ 个开关，每个开关能控制一些灯，并改变这些灯的状态。

接下来有 $d(1\le d\le 1000)$ 次询问，每次询问给出 $k_i$ 盏亮着的灯，询问将所有灯全部熄灭最少需要按几次开关。

思路

每个开关至多会被按一次。

注意到 $s$ 很小。

可以考虑一个 $O(2^s)$ 的暴力。

但复杂度显然不对。

所以 meet in middle，将开关划分为 $k$ 和 $s-k$ 两部分。

每次询问枚举 $k$ 中的所有状态，并在 $s-k$ 的部分找其与初始状态异或后的状态。

具体实现时可以用 unordered_map 存下 $s-k$ 这部分的所有状态，灯的状态可以用 bitset 来存。

时间复杂度 $O(2^k+2^{s-k}+\frac{dn{2}^k}{w})$，还要带 unordered_map 的常数。

在 $k$ 取 $12$ 左右可以通过。

CF1942F Farmer John's Favorite Function

*2700

tag： 数据结构（线段树，分块）。

题目描述

给定一个长度为 $n(1\le n\le 2\cdot {10}^5)$ 的序列 $a$，并定义函数 $f(x)$：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{a_1}& x=1\\ \sqrt{f(x-1)+a_x}& x>1\end{array}$$

有 $q(1\le q\le 2\cdot {10}^5)$ 次操作，每次操作 $a_x\leftarrow y$，求出每次操作后的 $\lfloor f(n)\rfloor$。

思路

发现我们每次直接将 $f(x)$ 操作完过后向下取整，其值与 $\lfloor f(x)\rfloor$ 相等。

也就是说我们可以只计算每次开根向下取整后的值。

考虑将修改离线下来，跑一边扫描线，来维护到了第 $i$ 个位置 $1\sim q$ 这些时刻的 $f(i)$。具体的，我们可以将每个位置上的数存在的时间区间求出来，每次将其存在的区间整体加。至多只有 $O(n+q)$ 个区间。

现在我们只需要维护两种操作：区间加和全局开根。

这是一个经典的问题：用势能线段树来维护。

具体的，记录一个区间的最大值 $mx$ 和最小值 $mi$，若 $\lfloor \sqrt{mx}\rfloor -mx=\lfloor \sqrt{mi}\rfloor -mi$，那么就可以区间整体加。否则直接暴力往下递归。

CF1945H GCD is Greater

*2600

tag：数学，位运算，暴力枚举。

题目大意

给定 $n(4\le n\le 4\cdot {10}^5)$ 个数 $a_i(1\le a_i\le 4\cdot {10}^5)$，将 $a_i$ 分成两个大小不小于 $2$ 的集合 $A,B$，使得 $A$ 集合中所有数的 gcd 大于 $B$ 集合中所有数按位与加 $x(1\le x\le 4\cdot {10}^5)$ 的值。或报告无解。

思路

多选数 gcd 不会变大，少选数按位与不会变小，所以 $A$ 集合可以只选择两个数。

接下来让我们按位考虑 $B$ 集合的答案。若存在三个及以上的数在这一位是 $0$，那么这一位必然是 $0$。

否则只会有 $1$ 个或 $2$ 个数在这一位上是 $0$，我们记这些数组成的集合为 $S$。若要使得这一位是 $0$ 那么 $A$ 集合中就不能够全部选中这些数；若为 $1$ 则 $A$ 集合必须包含这些数。

$A$ 集合在一个 $S$ 中的数都不选的情况下，$B$ 集合的值是确定的，我们只需要在剩下的数中最大化 $A$ 集合的值，可以通过枚举 gcd 来解决，调和级数时间复杂度是 $O(V\log V)$ 的。

否则 $A$ 中必然包含至少一个集合 $S$ 中的数。集合 $S$ 的大小只有 $O(\log V)$，所以我们可以枚举集合 $S$ 中的每一个数，然后再 $O(n)$ 枚举另一个数，计算区间按位与可以使用 st 表来维护，这部分的时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}V)$，另一个 $\log V$ 来自计算 gcd。

CF749E Inversions After Shuffle

*2400

tag：概率期望

题目大意

给定一个 $n(1\le n\le {10}^5)$ 的排列 $p$。随机选取一个 $p$ 的子段并随机打乱。求出打乱后 $p$ 的期望逆序对数量。

思路

去考虑每个可能的区间不太好做。让我们考虑可能的两对数 $i,j(i<j)$ 对初始序列造成的影响。

若 $i,j$ 同时在一个被打乱的区间内，那么它们有 $\frac{1}{2}$ 的概率改变先后顺序，而它们在同一个可能被打乱的区间内的概率为 $\frac{2(n-j+1)i}{n(n+1)}$。

也就是说，若 $a_i<a_j$ 那么它们会造成 $\frac{(n-j+1)i}{n(n+1)}$ 的贡献，否则造成 $-\frac{(n-j+1)i}{n(n+1)}$ 的贡献。

可以通过树状数组来维护。

CF303C Minimum Modular

*2400

tag：暴力枚举，同余

题目描述

给定 $n(1\le n\le 5000)$ 个互不相同的整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n(0\le a_i\le {10}^6)$ 和整数 $k(0\le k\le 4)$。求出一个最小的 $m$ 使得可以通过删除 $k$ 个数满足 $a$ 中所有数模 $m$ 的值互不相同。

思路

$m$ 的最大值只有 ${10}^6+1$。

不妨来枚举 $m$。

将两对整数 $a_i$ 与 $a_j$ 同余的条件变为 $m\mid (a_i-a_j)$。

显然，若每次同余的对数大于了 $\frac{k(k+1)}{2}$ 那么这个 $m$ 一定无解。

否则，可能相同的数至多只有 $\frac{4\times 5}{2}=10$ 个，我们枚举这 $10$ 个数即可判断 $m$ 是否符合条件。

枚举倍数根据调和级数时间复杂度为 $O(V\log V)$，总时间复杂度为 $O(\frac{k(k+1)}{2}V\log V)$。

CF1374F Cyclic Shifts Sorting

*2400

tag：构造，思维

题目描述

给定一个长度为 $n(3\le n\le 500)$ 的数组 $a_1,a_2,\dots ,a_n(1\le a_i\le 500)$。

定义一次 swap 操作为选择一个整数 $i(1\le i\le n-2)$，然后将 $a_i,a_{i+1},a_{i+2}$ 循环位移，也就是 $a_i:=a_{i+2},a_{i+1}:=a_{i+1},a_{i+2}:=a_{i+1}$。

你需要使用至多 $n^2$ 次 swap 操作将数组 $a$ 排序，或报告无解。

思路

一种不是正解的正确做法： 可以类似于选择排序，先从前往后排再从后往前排即可。

一个基本的想法是我们去做类似于选择排序的排序至少可以将前 $n-2$ 个数排好序。

那么若 $a_{n-1}\le a_n$ 那么整个数组就已经拍好序了。否则 $a_{n-1}>a_n$，那这种情况是否就无解了？

也不一定。实际上只要数组中存在两个相同的数就一定有解。

为什么？让我们从逆序对的角度来考虑。若我们交换三个不同的数，那么逆序对的数量要么会改变 $2$ 要么不变。然而，若交换的数中仅有两个相同，那么逆序对数量会改变 $1$ 或 $2$。

也就是说，我们可以通过交换两个相同的数来改变逆序对数量的奇偶性，从而构造出答案。

那么构造方案也就呼之欲出了：

• 若 $a_{n-2}=an$，那么 swap $a_{n-2}$。

• 否则找到一个整数 $p$ 满足 $a_p=a_{p+1}$ 且 $a_p\ne a_{p+2}$，然后 swap 两次 $a_p$，之后再做一次最开始的排序。

「COI 2019」IZLET

tag： 构造。

题目大意

有一棵未知的有 $n$ 个节点的树，每个节点有一个颜色。给定一个 $n\times n$ 的矩阵 $a$，其中 $a_{i,j}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的路径上有 $a_{i,j}$ 种不同的颜色。

构造出一棵满足条件的树。

思路

首先对于两个点 $u,v$，若 $a_{u,v}=1$，那么它们的颜色一定相同。并且，若我们先将它们连上边，那么答案一定不劣。

其次，若 $a_{u,v}=2$，那么我们也可以将它们连上边。

此时我们发现，仅靠 $1$ 和 $2$ 已经足够得出树的形态了。

把这棵树建出来，接下来考虑确定每个点的颜色。

可以枚举点 $x$ 然后找到所有与 $x$ 颜色相同的点。

对于一个点 $y$，记在从 $x$ 到 $y$ 的路径上与 $x$ 颜色相同且离 $y$ 最近的点为 $lst$，$lst$ 的下一个点为 $nxt$，那么 $y$ 与 $x$ 颜色相同当且仅当 $a_{lst,y}=a_{nxt,y}$。

「COI 2019」TENIS

tag：思维，数据结构。

题目大意

戳

思路

首先，所有排名为 $1$ 的人都可以获胜，将他们加入一个集合当中。

其次，若可以打败能够获胜的人，那么也可以获胜。

我们可以模拟这个过程来在 $O(n)$ 的复杂度内解决这个问题。

若我们选了一个人，实际上是将他在三种场地上所有能赢他的人都能获胜，以此类推。

我们实际上是要找到一个最小的 $i$ 满足，对于在前 $i$ 列出现过的所有人他们最后一次出现仍然在前 $i$ 列。

维护每个人最后出现的位置 $r_i$，那么这个人对 $[r_i,n]$ 都有加 $1$ 的贡献，我们只需要找到一个位置满足贡献和等于下标。

可以先将每个位置设为负的下标，然后找到第一个为 $0$ 的位置即可。

CF1930E 2..3...4.... Wonderful! Wonderful!

*2400

tag：组合计数

题目大意

现有一个长度为 $n(n\le {10}^6)$ 的数列 $a$ 满足 $a_i=i$。

给定一个 $k$，你可以进行若干次如下操作：选择 $a$ 序列中一个长为 $2k+1$ 的子序列，并删除它的前 $k$ 个数和后 $k$ 个数。

对于每一种 $k$，求出可以得到的序列个数，对 $998244353$ 取模。

思路

一个多月没写过了，现在来补一点。

相当于我们需要删除一些位置，我们不在意过程，只关心最后得到的序列。

那么一个最终序列合法的充要条件就是：

• 被删除的位置的个数为 $2k$ 的倍数。
• 存在一个没被删除的位置其左侧或右侧存在 $k$ 个被删除的位置 $p$。

必要性显然，证一下充分性。如果 $p$ 的一侧存在大于 $3k$ 个被删除的位置，那么我们可以删除 $2k$ 个。最后两边都剩下 $[k,3k)$ 个位置，并且两边之和都是 $2k$ 的倍数。

所以，考虑去枚举操作次数 $c$，用总方案数减去不合法方案数。那么不合法的方案就需要满足除开最左侧和最右侧的 $k-1$ 个被删除的位置，其它被删除的位置都是连续的。我们将中间连续的位置看成一个，就可以计算出答案。

时间复杂度 $O(n\ln n)$